Dzielnik

Dzielnik

Dzielnik to pojęcie arytmetyczne odnoszące się do liczb naturalnych, które można zdefiniować w dwóch kontekstach:

• W kontekście dzielenia: jeśli dla liczb $a$ i $b$ zachodzi $a\; :\; b\; =\; q$, to $b$ jest dzielnikiem $a$.
• Jako liczba całkowita, która dzieli daną liczbę bez reszty: $a\; |\; b$, co oznacza, że istnieje liczba całkowita $q$, dla której $b\; =\; qa$.

W przypadku liczby 10, jej właściwe dzielniki to $\backslash \{1,\; 2,\; 5\backslash \}$, a liczby pierwsze mają dokładnie jeden dzielnik właściwy – jedynkę.

Własności podzielności

• Zwrotność: Każda liczba dzieli siebie samą.
• Przechodniość: Jeśli $a|b$ i $b|c$, to $a|c$.

Te właściwości sprawiają, że podzielność tworzy relację praporządku. W przypadku liczb naturalnych istnieje również relacja częściowego porządku, gdzie liczby wzajemnie podzielne mają równy moduł.

Podzielność w zbiorach

Zbiory z relacją podzielności, takie jak $(\backslash mathbb\{N\},|)$, są nazywane posetami (zbiorami z częściowym porządkiem). W przypadku liczb naturalnych istnieją największy wspólny dzielnik (NWD) i najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW), które pełnią rolę kresów w tej strukturze.

Inne własności

• Dzielnik dwóch liczb jest jednocześnie dzielnikiem ich sumy: $(a|b\; \backslash land\; a|c)\; \backslash Rightarrow\; a|(b\; +\; c).$
• Istnieją metody sprawdzania podzielności bez dzielenia, oparte na cechach podzielności (np. dla 3 i 9 wystarczy suma cyfr).

Ogólne definicje

Podwielokrotnością liczby $n$ nazywamy każdą liczbę $a$, dla której $n\; :\; a$ jest liczbą naturalną. Dzielnik z reguły jest liczbą naturalną, a definicja może być rozszerzona na dziedziny całkowitości.

Relacja stowarzyszenia

Jeżeli $x|y$ i $y|x$, to $x$ oraz $y$ są nazywane stowarzyszonymi. Relacja ta jest równoważnością i można ją opisać jako $x\; \backslash sim\; y\; \backslash iff\; x\; =\; cy$, gdzie $c$ jest elementem odwracalnym. Dzielniki właściwe to dzielniki, które nie są stowarzyszone z daną liczbą, a największy wspólny dzielnik to największy dzielnik dwóch elementów, określony z dokładnością do stowarzyszenia.