Dywergencja

Dywergencja pola wektorowego

Dywergencja, znana również jako rozbieżność, jest operatorem różniczkowym przyporządkowującym pole wektorowe w przestrzeni euklidesowej pole skalarne. Operator ten można uogólnić na przestrzenie n-wymiarowe oraz riemannowskie.

Definicja dywergencji w układzie kartezjańskim

Niech $\backslash mathbf\{F\}\backslash colon\; U\backslash to\; \backslash mathbb\{R\}^3$ będzie polem wektorowym o składowych $\backslash mathbf\{F\}=(F\_1,\; F\_2,\; F\_3)$. Dywergencja $\backslash operatorname\{div\}\backslash mathbf\{F\}$ jest zdefiniowana jako:

$\backslash operatorname\{div\}\backslash mathbf\{F\}(x,y,z)\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\_1\}\{\backslash partial\; x\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\_2\}\{\backslash partial\; y\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\_3\}\{\backslash partial\; z\},$

co symbolicznie można zapisać jako $\backslash operatorname\{div\}\backslash mathbf\{F\}\; =\; \backslash nabla\backslash cdot\; \backslash mathbf\{F\}$, gdzie $\backslash nabla$ to operator nabla.

Dywergencja w układzie krzywoliniowym

W układzie współrzędnych krzywoliniowych dywergencję wyraża wzór:

$\backslash operatorname\{div\}(F)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{|g|\}\}\; \backslash partial\_a\; \backslash left(\backslash sqrt\{|g|\}\; F^a\backslash right),$

gdzie $|g|$ to wyznacznik tensora metrycznego, a $\backslash partial\_a$ to pochodna cząstkowa po współrzędnej $q\_a$.

Współrzędne sferyczne i walcowe

W układzie współrzędnych sferycznych dywergencja ma postać:

$\backslash operatorname\{div\}\backslash mathbf\{F\}\; =\; \backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{F\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{r^2\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\}(r^2\; F\_r)\; +\; \backslash frac\{1\}\{r\backslash sin\backslash theta\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; \backslash theta\}(\backslash sin\backslash theta\; F\_\backslash theta)\; +\; \backslash frac\{1\}\{r\backslash sin\backslash theta\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\_\backslash varphi\}\{\backslash partial\; \backslash varphi\}.$

W układzie walcowym:

$\backslash operatorname\{div\}\backslash mathbf\{F\}\; =\; \backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{F\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{r\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\}(rF\_r)\; +\; \backslash frac\{1\}\{r\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\_\backslash theta\}\{\backslash partial\backslash theta\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\_z\}\{\backslash partial\; z\}.$

Definicja geometryczna dywergencji

Dywergencję można zdefiniować za pomocą twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego, które mówi, że dla zwartego podzbioru $V$ przestrzeni $\backslash mathbb\{R\}^3$:

$\backslash iiint\_V\; \backslash operatorname\{div\}\backslash mathbf\{F\}\backslash ,dV\; =\; \backslash iint\_\{\backslash partial\; V\}\; \backslash mathbf\{F\}\backslash cdot\backslash mathbf\{n\}\backslash ,dS.$

Dywergencja w punkcie $M$ jest granicą całki po otaczającej go powierzchni:

$\backslash operatorname\{div\}\backslash mathbf\{F\}\; =\; \backslash lim\_\{\backslash partial\; V\; \backslash to\; M\}\; \backslash iint\; \backslash mathbf\{F\}\backslash cdot\backslash mathbf\{n\}\backslash ,dS.$

Właściwości dywergencji

• Dywergencja jest operatorem liniowym:

$\backslash operatorname\{div\}(a\backslash mathbf\{F\}\; +\; b\backslash mathbf\{G\})\; =\; a\; \backslash operatorname\{div\}\backslash mathbf\{F\}\; +\; b\; \backslash operatorname\{div\}\backslash mathbf\{G.$

• Dla pola skalarnego $\backslash varphi$ zachodzi:

$\backslash operatorname\{div\}(\backslash varphi\; \backslash mathbf\{F\})\; =\; \backslash operatorname\{grad\}(\backslash varphi)\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{F\}\; +\; \backslash varphi\; \backslash operatorname\{div\}\backslash mathbf\{F\}.$

Zastosowania w mechanice płynów

Dywergencja pojawia się w kontekście przepływu cieczy nieściśliwej, gdzie interpretowana jest jako gęstość źródeł. Wydajność źródeł wewnątrz powierzchni $S$ jest definiowana jako:

$\backslash iint\_S\; \backslash mathbf\{v\}\backslash cdot\backslash mathbf\{n\}\backslash ,dS.$

Dywergencja pola prędkości cieczy jest gęstością źródeł, co można zapisać jako:

$\backslash lim\_\{\backslash partial\; V\; \backslash to\; M\}\; \backslash iint\; \backslash mathbf\{v\}\backslash cdot\backslash mathbf\{n\}\backslash ,dS.$