Dwunastościan foremny

Dwunastościan foremny (dodekaedr)

Dwunastościan foremny, znany również jako dodekaedr, to wielościan o 12 ścianach w kształcie pięciokątów foremnych. Posiada 30 krawędzi oraz 20 wierzchołków. Ścinając wierzchołki dodekaedru, otrzymuje się wielościan półforemny, nazywany dwunastościanem ściętym. Jego symbol Schläfliego to {5,3}.

Wzory i własności

W poniższych wzorach $a$ oznacza długość krawędzi dwunastościanu foremnego:

• Pole powierzchni całkowitej: $S=3\backslash \; a^2\backslash \; \backslash sqrt\{5(5+2\backslash sqrt\{5\})\}\backslash approx\; 20\{,\}6457\backslash \; a^2$
• Objętość: $V=\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash \; a^3\backslash \; (15+7\backslash sqrt\{5\})\backslash approx\; 7\{,\}6613\backslash \; a^3$
• Promień kuli wpisanej: $r=\backslash frac\{a\}\{20\}\backslash sqrt\{10(25+11\backslash sqrt\{5\})\}\backslash approx\; 1\{,\}1135\backslash \; a$
• Promień kuli stycznej do krawędzi: $\backslash delta\; =\; \backslash frac\{a(3+\backslash sqrt\{5\})\}\{4\}$
• Promień kuli opisanej: $R=\backslash frac\{a\}\{4\}\backslash \; \backslash sqrt\{3\}\backslash \; (1+\backslash sqrt\{5\})\backslash approx\; 1\{,\}4013\backslash \; a$
• Kąt między sąsiednimi ścianami: $\backslash alpha\; =\; \backslash arccos\backslash left(-\backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}\}\{5\}\backslash right)\; \backslash approx\; 116\{,\}6^\backslash circ$
• Grupa symetrii: I_h

Zależności geometryczne

Apoloniusz z Pergi udowodnił, że dla dodekaedru i dwudziestościanu foremnego, które mają wpisane kule o tym samym promieniu, zachodzi następująca zależność:

$\backslash frac\{V\_\{20\}\}\{V\_\{12\}\}\; =\; \backslash frac\{S\_\{20\}\}\{S\_\{12\}\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{3\}\{10\}\backslash left(5-\backslash sqrt\{5\}\backslash right)\}$

gdzie $V\_n$ i $S\_n$ oznaczają odpowiednio objętość i pole powierzchni $n$-ścianu foremnego.