Dwudziestościan foremny

Dwudziestościan foremny (ikosaedr)

Dwudziestościan foremny, znany również jako ikosaedr, jest najbardziej złożonym wielościanem foremnym. Posiada 20 ścian, które mają kształt przystających trójkątów równobocznych. Jego cechy to:

• 30 krawędzi
• 12 wierzchołków
• 15 płaszczyzn symetrii

Właściwości geometryczne

Po ścięciu wierzchołków dwudziestościanu otrzymujemy wielościan półforemny, zwany dwudziestościanem ściętym. Poniżej przedstawiono kluczowe formuły związane z dwudziestościanem foremnym:

• Pole powierzchni:
  $S\; =\; 5\backslash \; a^2\backslash sqrt\{3\}\; \backslash approx\; 8\{,\}6603\backslash \; a^2$
• Objętość:
  $V\; =\; \backslash frac\{5\}\{12\}\backslash \; a^3\backslash \; (3+\backslash sqrt\{5\})\; \backslash approx\; 2\{,\}1817\backslash \; a^3$
• Promień kuli wpisanej:
  $r\; =\; \backslash frac\{a\}\{12\}\backslash \; \backslash sqrt\{3\}(3+\backslash sqrt\{5\})\; \backslash approx\; 0\{,\}7558\backslash \; a$
• Promień kuli opisanej:
  $R\; =\; \backslash frac\{a\}\{4\}\backslash \; \backslash sqrt\{10+2\backslash sqrt\{5\}\}\; \backslash approx\; 0\{,\}9511\backslash \; a$
• Promień kuli stycznej do krawędzi:
  $\backslash delta\; =\; \backslash frac\{a(1+\backslash sqrt5)\}\{4\}$
• Kąt między ścianami: 138,2°

Relacje między objętościami i polami powierzchni

Apoloniusz z Pergi udowodnił, że dla dwudziestościanu foremnego i dwunastościanu foremnego, opartych na kulach o tym samym promieniu, zachodzi następująca relacja:

$\backslash frac\{V\_\{20\}\}\{V\_\{12\}\}\; =\; \backslash frac\{S\_\{20\}\}\{S\_\{12\}\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{3\}\{10\}\backslash left(5-\backslash sqrt\{5\}\backslash right)\}$

Grupa symetrii

Dwudziestościan foremny należy do grupy symetrii I_h.