Dowód niekonstruktywny

Dowód Niekonstruktywny w Matematyce

Dowód niekonstruktywny to metoda wykazywania istnienia pewnych obiektów matematycznych, takich jak zbiory, liczby, figury czy funkcje, bez ich bezpośredniego wskazywania lub konstruowania. Zazwyczaj opiera się na dowodach nie wprost, w których przyjęcie, że dany obiekt nie istnieje, prowadzi do sprzeczności.

W dowodach niekonstruktywnych często wykorzystuje się zasady takie jak zasada szufladkowa Dirichleta czy aksjomat wyboru.

Przykład Dowodu Niekonstruktywnego

Przykładem dowodu niekonstruktywnego jest twierdzenie dotyczące liczb niewymiernych:

Twierdzenie: Istnieją dwie liczby niewymierne dodatnie $x$ i $y$, takie że $x^y$ jest liczbą wymierną.

Dowód:

• Jeżeli $\backslash sqrt\{2\}^\backslash sqrt\{2\}$ jest liczbą wymierną, to wybieramy $x\; =\; y\; =\; \backslash sqrt\{2\}.$
• Jeżeli $\backslash sqrt\{2\}^\backslash sqrt\{2\}$ jest liczbą niewymierną, to przyjmujemy $x\; =\; \backslash sqrt\{2\}^\backslash sqrt\{2\},\; y\; =\; \backslash sqrt\{2\}$, co daje $x^y\; =\; \backslash sqrt\{2\}^\{\backslash sqrt\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{2\}\}\; =\; 2.$

Krytyka Dowodów Niekonstruktywnych

Dowody niekonstruktywne spotkały się z krytyką ze strony intuicjonistów. Zauważali oni, że niefrasobliwe stosowanie prawa wyłączonego środka w dowodach egzystencjalnych może prowadzić do pojawiania się paradoksów w matematyce, na przykład w teorii mnogości. Intuicjoniści proponowali przebudowę metodologii matematycznej, jednak ich inicjatywy nie zyskały szerokiego poparcia wśród matematyków, ponieważ mogłyby prowadzić do odrzucenia wielu osiągnięć tej dziedziny.

Podsumowanie

Dowód niekonstruktywny jest istotną metodą w matematyce, choć budzi kontrowersje. Jego zastosowanie wymaga ostrożności i zrozumienia, zwłaszcza w kontekście krytyki intuicjonistycznej.