Dowód matematyczny
Dowód to proces wykazywania prawdziwości określonego zdania, który różni się od rozumowania empirycznego czy heurystycznego. Każdy krok dowodu musi wynikać z wcześniejszych założeń lub być przyjętym aksjomatem; inaczej nie stanowi on dowodu. Zakończenie dowodu oznacza udowodnione twierdzenie, zazwyczaj oznaczane skrótami takimi jak q.e.d. (quod erat demonstrandum).
Metody dowodu
Istnieje wiele metod dowodzenia, w tym:
- Dowód wprost – bezpośrednie wykazanie tezy na podstawie założeń.
- Dowód nie wprost – przyjęcie, że twierdzenie jest fałszywe, co prowadzi do sprzeczności.
- Dowód kombinatoryczny – polega na obliczaniu możliwości ustawień na dwa sposoby.
- Dowód geometryczny – wykorzystuje metody geometrii do wykazania prawdziwości twierdzeń.
- Dowód indukcyjny – oparty na zasadzie indukcji matematycznej.
- Metoda przekątniowa – dowodzi, że nie istnieje pewien obiekt.
- Dowód konstruktywny – znajduje obiekt spełniający założenia.
- Dowód niekonstruktywny – wykazuje istnienie obiektu bez jego skonstruowania.
- Dowód formalny – ścisła forma dowodu w sformalizowanym języku matematycznym.
Rola dowodu matematycznego
Dowód matematyczny pełni różne funkcje, takie jak:
- Weryfikacyjna – potwierdza poprawność hipotezy.
- Wyjaśniająca – przedstawia powód prawdziwości twierdzenia.
- Systematyzacyjna – porządkuje wyniki zgodnie z kluczowymi pojęciami.
- Komunikacyjna – umożliwia przekazywanie wyników innym.
- Estetyczna – pozwala na eleganckie i klarowne przedstawienie rozumowania.
- Satysfakcjonująca – przynosi radość i poczucie sukcesu.
- Transferowa – zachowuje techniki dowodowe przydatne w innych kontekstach.
Dowód formalny
W teorii sformalizowanej dowód formalny to skończony ciąg wyrażeń w ustalonym języku, gdzie każde wyrażenie jest aksjomatem lub wnioskiem z wcześniejszych przesłanek, wyprowadzonym na podstawie reguł dedukcyjnych. Dowód formalny dla formuły A z aksjomatów X to każdy ciąg, który kończy się formułą A i spełnia określone warunki dotyczące wcześniejszych formuł.
