Delta Diraca

Delta Diraca

Delta Diraca to obiekt matematyczny wprowadzony przez brytyjskiego fizyka Paula Diraca. Jest to użyteczne narzędzie w różnych dziedzinach, takich jak fizyka kwantowa, elektronika oraz analiza matematyczna. Współczesna definicja delty Diraca obejmuje ją jako miarę lub dystrybucję.

Definicje

Delta Diraca jest często definiowana jako funkcja $\backslash delta\; \backslash colon\; \backslash mathbb\; R\; \backslash to\; \backslash overline\; \backslash mathbb\; R$, spełniająca warunki:

• $\backslash delta(0)\; =\; +\backslash infty$
• $\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; \backslash delta(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; 1$

Jednak taka funkcja nie istnieje w ramach klasycznej teorii funkcji. W teorii miary, deltę Diraca definiuje się jako miarę:

Własności delty Diraca

Delta Diraca umożliwia całkowanie funkcji względem siebie:

• $\backslash int\_\backslash mathbb\; R\; f(x)\; \backslash delta(\backslash text\{d\}x)\; =\; f(0)$
• $\backslash int\_\backslash mathbb\; R\; \backslash delta(\backslash text\{d\}x)\; =\; 1$

Dowód pierwszej własności opiera się na trzech krokach:

1. W przypadku funkcji prostych, całka redukuje się do wartości funkcji w punkcie 0.
2. Dla nieujemnych funkcji mierzalnych, wykorzystujemy ciąg aproksymacyjny funkcji prostych.
3. Dla dowolnych funkcji mierzalnych, rozdzielamy je na części dodatnie i ujemne, co prowadzi do tej samej konkluzji.

Zastosowania

W rachunku prawdopodobieństwa, delta Diraca $\backslash delta\_a$ jest rozkładem prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej $X$, gdzie $P(X=a)=1$. W fizyce delta Diraca służy do reprezentowania impulsów o jednostkowym polu, natomiast w statyce jest używana do modelowania sił punktowych w belkach.

Delta Diraca stanowi matematyczny model idealnych impulsów, które są nierealizowalne fizycznie ze względu na ich nieskończoną wąskość i dużą amplitudę.