Czterowektor

Czterowektor – definicja i właściwości

Czterowektor to wektor o czterech współrzędnych $A^\backslash alpha\; =\; (A^0,A^1,A^2,A^3)$, który występuje w czasoprzestrzeni, będącej przestrzenią 4-wymiarową. Głównym przykładem czterowektora jest 4-wektor położenia.

Rodzaje czterowektorów

• 4-wektor kontrawariantny – zapisywany z górnymi indeksami. Transformacje między różnymi obserwatorami są opisane przez transformację Lorentza.
• 4-wektor kowariantny – zapisany z dolnymi indeksami, różni się od kontrawariantnego znakiem współrzędnych przestrzennych.

Transformacje Lorentza

Transformacje Lorentza łączą współrzędne dwóch obserwatorów poruszających się względem siebie z prędkością $v$. Przykładowe transformacje dla 4-wektora kontrawariantnego to:

$A^\{’0\}\; =\; \backslash gamma\; (A^0\; –\; \backslash frac\{v\}\{c\}\; A^1),\; \backslash quad\; A^\{’1\}\; =\; \backslash gamma\; (A^1\; –\; \backslash frac\{v\}\{c\}\; A^0),\; \backslash quad\; A^\{’2\}\; =\; A^2,\; \backslash quad\; A^\{’3\}\; =\; A^3$

Długość czterowektora

Długość czterowektora jest stała we wszystkich układach odniesienia i opisana równaniami:

$||\backslash mathbf\; A||^2\; =\; A\_\backslash alpha\; A^\backslash alpha\; =\; g\_\{\backslash alpha\backslash beta\}\; A^\backslash alpha\; A^\backslash beta$

Klasyfikacja czterowektorów

Czterowektory dzielimy na:

• czasowe – gdy $A\_\backslash alpha\; A^\backslash alpha\; >\; 0$
• zerowe – gdy $A\_\backslash alpha\; A^\backslash alpha\; =\; 0$
• przestrzenne – gdy

Czterowektor położenia

Czterowektor położenia opisuje zdarzenie w czasoprzestrzeni, składając się z współrzędnej czasowej i współrzędnych przestrzennych:

$x^\backslash mu\; =\; (ct,\; x,\; y,\; z)$

Interwał czasoprzestrzenny

Interwał czasoprzestrzenny między dwoma zdarzeniami jest niezmiennikiem transformacji Lorentza i definiuje odległość między czterowektorami opisującymi te zdarzenia.

Czterowektor prędkości

Czterowektor prędkości definiuje się jako pochodną czterowektora położenia względem interwału czasoprzestrzennego:

$u^\backslash mu\; =\; \backslash frac\{dx^\backslash mu\}\{ds\}$

Czterowektor pędu

Czterowektor pędu ciała to iloczyn 4-wektora prędkości i masy spoczynkowej:

$p^\backslash mu\; =\; m\_0\; u^\backslash mu$

Związek między energią, pędem i masą

Energia całkowita i pęd ciała mogą być wyrażone w postaci czterowektora pędu:

$p^\backslash mu\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{E\}\{c\},\; \backslash vec\{p\}\; \backslash right)$

gdzie $E\; =\; m\_0\; \backslash gamma\; c^2$ i $\backslash vec\{p\}\; =\; m\_0\; \backslash gamma\; \backslash vec\{v\}$.

Czterowektor falowy i gęstości prądu

Czterowektor falowy przypisany fali świetlnej ma postać:

$k^\backslash mu\; =\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash omega\}\{c\},\; \backslash vec\{k\}\backslash right)$

Czterowektor gęstości prądu opisuje prąd elektryczny jako:

$j^\backslash mu\; =\; \backslash left(c\backslash rho,\; \backslash vec\{j\}\backslash right)$