Człon inercyjny

Człon inercyjny w automatyce

Człon inercyjny to układ, którego transmitancja ma postać:

$G(s)\; =\; \backslash frac\{k\}\{(1+sT\_1)(1+sT\_2)\backslash dots(1+sT\_n)\},$

gdzie:

• $k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ – wzmocnienie układu,
• $T\_i\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^+,\; i=1,\; 2,\; \backslash dots,\; n$ – stałe czasowe inercji,
• $n$ – rząd inercji członu.

Człon inercyjny I rzędu

Człon inercyjny pierwszego rzędu opisuje się transmitancją:

$G(s)\; =\; \backslash frac\{k\}\{1+sT\}.$

Odpowiedzi tego członu obejmują:

• Odpowiedź impulsowa: $g(t)\; =\; \backslash frac\{k\}\{T\}\; e^\{-\backslash frac\{t\}\{T\}\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{1\}(t).$
• Charakterystyka skokowa:
  • w dziedzinie operatorowej: $H(s)\; =\; \backslash frac\{k\}\{s(1+sT)\},$
  • w dziedzinie czasu: $h(t)\; =\; k\backslash left(1-e^\{-\backslash frac\{t\}\{T\}\}\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{1\}(t).$
• Charakterystyka sinusoidalna: $y(t)\; =\; \backslash frac\{k\; T\; \backslash omega\}\{1+\backslash omega^2\; T^2\}e^\{-\backslash frac\{t\}\{T\}\}+\backslash frac\{k\}\{\backslash sqrt\{1+\backslash omega^2\; T^2\}\}\backslash sin(\backslash omega\; t+\backslash phi).$
• Charakterystyka amplitudowo-fazowa:
  $G(j\backslash omega)\; =\; \backslash frac\{k\}\{1+j\backslash omega\; T\},$
  z:
  • $P(\backslash omega)\; =\; \backslash frac\{k\}\{1+(\backslash omega\; T)^2\},$
  • $Q(\backslash omega)\; =\; -\backslash frac\{k\; \backslash omega\; T\}\{1+(\backslash omega\; T)^2\}.$
• Charakterystyka fazowa: $\backslash phi(\backslash omega)\; =\; -\backslash operatorname\{arctg\}(\backslash omega\; T).$

Człon inercyjny II rzędu

Człon inercyjny drugiego rzędu ma postać:

$G(s)\; =\; \backslash frac\{k\}\{(1+sT\_1)(1+sT\_2)\}.$

Odpowiedzi tego członu obejmują:

• Odpowiedź impulsowa: $g(t)\; =\; \backslash frac\{k\}\{T\_1\; –\; T\_2\}\; \backslash left(\; e^\{-\backslash frac\{t\}\{T\_1\}\}\; –\; e^\{-\backslash frac\{t\}\{T\_2\}\}\; \backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{1\}(t).$
• Charakterystyka skokowa:
  • w dziedzinie operatorowej: $H(s)\; =\; \backslash frac\{k\}\{s(1+sT\_1)(1+sT\_2)\},$
  • w dziedzinie czasu: $h(t)\; =\; k\backslash left(1\; –\; \backslash frac\{T\_1\}\{T\_1\; –\; T\_2\}\; e^\{-\backslash frac\{t\}\{T\_1\}\}\; +\; \backslash frac\{T\_2\}\{T\_1\; –\; T\_2\}\; e^\{-\backslash frac\{t\}\{T\_2\}\}\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{1\}(t).$
• Charakterystyka amplitudowo-fazowa:
  $G(j\backslash omega)\; =\; \backslash frac\{k\}\{(1+j\backslash omega\; T\_1)(1+j\backslash omega\; T\_2)\},$
  z:
  • $P(\backslash omega)\; =\; \backslash frac\{k(1-\backslash omega^2\; T\_1\; T\_2)\}\{1+(\backslash omega\; T\_1)^2+(\backslash omega\; T\_2)^2+(\backslash omega^2\; T\_1\; T\_2)^2\},$
  • $Q(\backslash omega)\; =\; \backslash frac\{-k\backslash omega\; (T\_1\; +\; T\_2)\}\{1+(\backslash omega\; T\_1)^2+(\backslash omega\; T\_2)^2+(\backslash omega^2\; T\_1\; T\_2)^2\}.$
• Charakterystyka fazowa: $\backslash phi(\backslash omega)\; =\; \backslash operatorname\{arctg\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash omega(T\_1\; +\; T\_2)\}\{\backslash omega^2\; T\_1\; T\_2\; –\; 1\}\backslash right).$