Ciało zbiorów

Ciało zbiorów

Ciało zbiorów, znane również jako algebra zbiorów, to rodzina podzbiorów niepustego zbioru \(X\), która spełnia następujące warunki:

• Zbiór pusty należy do \(\mathcal{F}\).
• Dopełnienie zbioru z \(\mathcal{F}\) również należy do \(\mathcal{F}\).
• Suma dwóch zbiorów z \(\mathcal{F}\) należy do \(\mathcal{F}\).

Rodzinę \(\mathcal{F}\) można określić jako ciało zbiorów na \(X\). Ciała zbiorów są badane w teorii mnogości, teorii algebr Boole’a, a także w kontekście teorii miary, probabilistyki, topologii i kombinatoryki.

Podstawowe przykłady

Oto kilka przykładów ciał zbiorów na zbiorze \(X\):

• Rodzina wszystkich podzbiorów zbioru \(X\) (zbiór potęgowy).
• Rodzina złożona ze zbioru pustego i zbioru \(X\).
• Rodzina \(\mathcal{F}_A = \{A, X \setminus A, \varnothing, X\}\), gdzie \(A\) jest dowolnym podzbiorem \(X\).
• Rodzina podzbiorów liczb naturalnych, które są skończone lub których dopełnienie jest skończone.
• Każde \(\sigma\)-ciało podzbiorów \(X\), na przykład rodzina borelowskich podzbiorów w przestrzeni topologicznej.

W przestrzeni topologicznej \((X,\tau)\) rodzina otwarto-domkniętych podzbiorów \(X\) również tworzy ciało.

Podstawowe własności

• Każde ciało na \(X\) jest zamknięte na skończone przekroje i sumy.
• Przekrój dowolnej rodziny ciał na \(X\) jest ciałem zbiorów.
• Istnieje najmniejsze ciało zbiorów zawierające daną rodzinę podzbiorów \(X\), nazywane ciałem generowanym.
• Jeśli \(\mathcal{F}\) jest ciałem, a \(\mathcal{I}\) jest ideałem, to ciało generowane przez \(\mathcal{F} \cup \mathcal{I}\) składa się z różnic symetrycznych zbiorów z \(\mathcal{F}\) i \(\mathcal{I}\).
• Pierścień zbiorów \(R\) na \(X\) jest ciałem, jeśli zawiera zbiór \(X\).

Ciała jako algebry Boole’a

• Ciało zbiorów \(\mathcal{F}\) na \(X\) tworzy algebrę Boole’a z operacjami \(\cup\), \(\cap\), dopełnieniem, oraz zbiorami pustym i \(X\).
• Twierdzenie Stone’a mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów, co wymaga założenia pewnej formy aksjomatu wyboru.

Bibliografia

Informacje na temat ciał zbiorów można znaleźć w literaturze dotyczącej teorii mnogości i algebr Boole’a.