Ciało skończone

Ciało skończone

Ciało skończone, znane również jako ciało Galois, to struktura algebraiczna o skończonej liczbie elementów. Nazwa pochodzi od Évariste’a Galois, który przyczynił się do badań nad tymi ciałami oraz ich zastosowaniem w teorii Galois, odpowiadającej na pytania dotyczące rozstrzygania konstrukcji w geometrii euklidesowej.

Konstrukcja i własności

Niech $p$ będzie liczbą pierwszą, a $\backslash pi$ unormowanym wielomianem nierozkładalnym stopnia $n$ w $\backslash mathbf\; F\_p[x]$. Pierścień $\backslash mathbf\; F\_p[x]/(\backslash pi)$ jest ciałem o rzędzie $p^n$. Ciała skończone mają rząd wyrażający się jako potęga liczby pierwszej i są izomorficzne do $\backslash mathbf\; F\_p[x]/(\backslash pi)$. Każde ciało skończone o rzędzie $p^n$ jest ciałem rozkładu wielomianu $x^\{p^n\}\; –\; x$ nad $\backslash mathbf\; F\_p$.

Właściwości ciał skończonych:

• Grupa multiplikatywna ciał skończonych jest cykliczna.
• Dla każdej liczby pierwszej $p$ i naturalnej liczby $n$ istnieje unormowany wielomian nierozkładalny stopnia $n$.
• Podciała $\backslash mathbf\; F\_\{p^n\}$ mają rząd $p^d$, gdzie $d|n$.

Przykłady ciał skończonych

Przykłady ciał skończonych obejmują:

• $\backslash mathbb\; Z/7\backslash mathbb\; Z$ – ciało 7-elementowe.
• $\backslash mathbb\; Z\_4$ – nie jest ciałem z powodu dzielnika zera.
• Ciała rzędu 8: $\backslash mathbf\; F\_2[x]/(x^3\; +\; x\; +\; 1)$.
• Ciała rzędu 9: $\backslash mathbf\; F\_3[x]/(x^2\; +\; 1)$.

Rys historyczny

Badania nad ciałami skończonymi sięgają czasów takich matematyków jak Pierre de Fermat czy Carl Friedrich Gauss. Évariste Galois jako pierwszy opisał ciała skończone w 1830 roku. W 1893 roku Eliakim Hastings Moore dowiódł, że każde ciało skończone jest izomorficzne do $\backslash mathbf\; F\_p[x]/(\backslash pi)$ i użył terminu „ciało Galois”.

Uwagi i bibliografia

Ciała skończone są istotne w teorii liczb i informatyce. W literaturze przedmiotu można znaleźć prace takie jak „Finite Fields” autorstwa Rudolfa Lidla i Harald Niederreiter.