Ciąg (matematyka)

Definicja ciągu

Ciąg to przyporządkowanie liczbom naturalnym elementów z ustalonego zbioru. Może być skończony (n-elementowy) lub nieskończony. Elementy ciągu, oznaczane jako $a\_i$, nazywane są wyrazami ciągu. Ważna jest kolejność wyrazów, a ta sama wartość może występować wielokrotnie.

Oznaczenia i zbiory wskaźników

Ciąg można przedstawić jako funkcję $a:\; I\; \backslash to\; X$, gdzie $I$ to zbiór wskaźników, a $X$ to zbiór wartości. Zbiór wskaźników może być skończony lub nieskończony, co decyduje o charakterze ciągu.

Wyrazy ciągu

Wyrazy ciągu można przedstawiać na kilka sposobów, np. poprzez podanie ich wartości lub wzoru ogólnego. Dla dużych zbiorów najczęściej stosuje się wzory, które łączą wskaźnik z wyrazem, np. $(a\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\}\; =\; (n-2)\_\{n=1\}^\backslash infty.$

Określenia rekurencyjne

Rekurencyjna definicja ciągu polega na tym, że wyraz zależy od jednego lub więcej poprzednich wyrazów. Przykład stanowi ciąg Fibonacciego, gdzie $a\_n\; =\; a\_\{n-1\}\; +\; a\_\{n-2\}$ dla $n\; >\; 1$.

Rodzaje ciągów

• Ciąg arytmetyczny: $a\_n\; =\; a\_1\; +\; (n-1)r$
• Ciąg geometryczny: $a\_n\; =\; a\_1\; \backslash cdot\; q^\{n-1\}$

Własności ciągów

Ciągi można klasyfikować jako stałe, monotoniczne (rosnące, malejące) i ograniczone. Ciągi mogą być również zbieżne (mają granicę) lub rozbieżne (nie mają granicy).

Przestrzenie ciągów

W zbiorze ciągów $K^I$ można wprowadzić strukturę algebraiczną oraz metrykę, co pozwala na badanie ich własności topologicznych.

Operacje na ciągach

• Dodawanie: $(a\_n)\; +\; (b\_n)\; =\; (a\_n\; +\; b\_n)$
• Mnożenie: $(a\_n)(b\_n)\; =\; (a\_n\; \backslash cdot\; b\_n)$
• Mnożenie przez skalar: $c(a\_n)\; =\; (c\; \backslash cdot\; a\_n)$

Struktura topologiczna

W przestrzeni liniowej ciągów można wprowadzić normę, co umożliwia klasyfikację ciągów w przestrzenie Banacha, gdzie norma jest skończona.