Charakterystyka (algebra)

Charakterystyka pierścienia

Charakterystyka pierścienia to najmniejsza liczba całkowita $n$, dla której suma $n$ elementów neutralnych mnożenia (jedynek) daje element neutralny dodawania (zero). Gdy taka liczba nie istnieje, mówi się, że pierścień ma charakterystykę zero. Można to również zdefiniować jako wykładnik grupy addytywnej pierścienia, co oznacza, że dla każdego elementu $a$ w pierścieniu, suma $n$ elementów $a$ wynosi zero.

W pierścieniach bez jedynki charakterystykę definiuje się jedynie jako wykładnik grupy addytywnej. W pierścieniach z jedynką obie definicje są równoważne. Można również zdefiniować charakterystykę jako liczbę naturalną $n$, dla której $n\backslash mathbb\{Z\}$ jest jądrem homomorfizmu $\backslash varphi\; \backslash colon\; \backslash mathbb\{Z\}\; \backslash to\; R$.

Pierścienie

Jeśli $R$ i $S$ są pierścieniami i istnieje homomorfizm $R\; \backslash to\; S$, to charakterystyka $S$ dzieli charakterystykę $R$. Jedynym pierścieniem o charakterystyce 1 jest pierścień trywialny. Nietrywialny pierścień bez dzielników zera ma charakterystykę zero lub liczbę pierwszą. Wszystkie ciała, dziedziny całkowitości oraz pierścienie z dzieleniem mają charakterystykę zero lub liczbę pierwszą.

Przykładowo, pierścień $\backslash mathbb\{Z\}/n\backslash mathbb\{Z\}$ ma charakterystykę $n$, a każdy podpierścień z jedynką ma tę samą charakterystykę. Ciała charakterystyki zero obejmują $\backslash mathbb\{Q\},\; \backslash mathbb\{R\},$ i $\backslash mathbb\{C\}$. W pierścieniu o charakterystyce pierwszej $p$, zachodzi równość $(x\; +\; y)^p\; =\; x^p\; +\; y^p$.

Odwzorowanie $f(x)\; =\; x^p$ w pierścieniu o charakterystyce $p$ to endomorfizm Frobeniusa, który jest injektywny w dziedzinach całkowitości, ale niekoniecznie surjektywny.

Ciała

Charakterystyka każdego ciała wynosi zero lub jest liczbą pierwszą. Istnieje minimalne podciało ciała, zwane ciałem prostym, które jest izomorficzne z $\backslash mathbb\{Q\}$ lub ciałem skończonym $\backslash mathbf\{F\}\_p$. Ciała charakterystyki zero mają dobrze znane właściwości i przypominają podciała liczb zespolonych.

Ciała uporządkowane, takie jak liczby wymierne i rzeczywiste, mają charakterystykę zero. Ciała skończone $\backslash operatorname\{GF\}(p^n)$ mają charakterystykę $p$, a istnieją również ciała nieskończone o charakterystyce wyrażającej się liczbą pierwszą, np. ciało funkcji wymiernych nad $\backslash mathbb\{Z\}/p\backslash mathbb\{Z\}$.

Rozmiar pierścienia skończonego charakterystyki $p$ jest potęgą liczby $p$, co wynika z faktu, że musi on być przestrzenią liniową nad ciałem $\backslash mathbb\{Z\}/p\backslash mathbb\{Z\}$.