Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie to technika stosowana do obliczania całek w formie zamkniętej. Metoda ta polega na przekształceniu funkcji całkowanej poprzez wprowadzenie nowej zmiennej, co ułatwia obliczenia.

Opis metody

Podstawienie jest możliwe, gdy spełnione są następujące warunki:

• Funkcja $\backslash psi(x)$ jest różniczkowalna w przedziale $D$.
• Funkcja $g(x)$ ma funkcję pierwotną w przedziale $I$, co oznacza, że $G\text{'}(t)\; =\; g(t)$.
• Funkcja $f(x)\; =\; g(\backslash psi(x))\; \backslash cdot\; \backslash psi\text{'}(x)$ jest całkowalna w $D$.

Wtedy zachodzi równość:

$\backslash int\; f(x)\; dx\; =\; G(\backslash psi(x))\; +\; C.$

W przypadku całek oznaczonych zmieniają się granice całkowania, co wyraża się równaniem:

$\backslash int\_\{g(a)\}^\{g(b)\}f(x)dx\; =\; \backslash int\_a^b\; f(g(t))\; \backslash cdot\; g\text{'}(t)dt.$

Przykłady

• Obliczanie całki $\backslash int\; \backslash frac\{\backslash ln(x)\}\{x\}\; dx$ przy użyciu podstawienia $\backslash ln(x)\; =\; t$ daje wynik: $\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash ln^2(x)\; +\; C.$
• W przypadku $\backslash int\; \backslash sin\; (2x\; +\; 3)\; dx$ można zastosować: $\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash int\; \backslash sin(2x\; +\; 3)\; \backslash cdot\; d(2x\; +\; 3)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cos(2x\; +\; 3)\; +\; C.$

Przydatne podstawienia

Do całkowania funkcji trygonometrycznych stosuje się różne podstawienia, w tym:

• Podstawienie $t\; =\; \backslash tan\backslash frac\{x\}\{2\}$ jest uniwersalne.
• Gdy funkcja jest nieparzysta względem sinusa, stosuje się $t\; =\; \backslash cos\; x$.
• Gdy funkcja jest nieparzysta względem cosinusa, stosuje się $t\; =\; \backslash sin\; x$.

Podstawienia Eulera

Podstawienia Eulera są używane do obliczania całek funkcji postaci $R(\backslash sqrt\{ax^2+bx+c\},\; x)$. Istnieją trzy rodzaje podstawień Eulera, w zależności od wartości parametrów $a$, $b$, $c$.

Podstawienia trygonometryczne

W celu uproszczenia całek, można stosować następujące podstawienia:

• $\backslash int\; R(x,\backslash sqrt\{x^2+a^2\})dx$ – podstawienie $x\; =\; a\; \backslash sinh\; t$ lub $x\; =\; a\; \backslash tan\; t$.
• $\backslash int\; R(x,\backslash sqrt\{x^2-a^2\})dx$ – podstawienie $x\; =\; a\; \backslash cosh\; t$ lub $x\; =\; a\; \backslash sec\; t$.
• $\backslash int\; R(x,\backslash sqrt\{a^2-x^2\})dx$ – podstawienie $x\; =\; a\; \backslash tanh\; t$ lub $x\; =\; a\; \backslash sin\; t$.

Inne podstawienia

Dla całek typu $\backslash int\; R(e^x)dx$ używa się podstawienia $e^x\; =\; t$, a dla całek funkcji wymiernych można stosować podstawienie $\backslash frac\{ax+b\}\{cx+d\}\; =\; t^k$, gdzie $k$ jest najmniejszą wspólną wielokrotnością.