Całka powierzchniowa

Całka powierzchniowa – całka, w której obszarem całkowania jest płat powierzchni.

Całka niezorientowana

Inne nazwy to całka powierzchniowa funkcji skalarnej i całka powierzchniowa pierwszego rodzaju.

Definicja formalna

Niech funkcja rzeczywista $f\backslash colon\; \backslash \; S\backslash to\; \backslash mathbb\{R\},$ określona na powierzchni $S\backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}^3,$ będzie ciągła. Poprzez $D$ oznaczamy rzut powierzchni $S$ na płaszczyznę $XY.$ Dzielimy $D$ na podobszary $\backslash Delta\backslash delta\_1,\; \backslash Delta\backslash delta\_2,\; \backslash dots,\; \backslash Delta\backslash delta\_n,$ gdzie $\backslash Delta\backslash delta\_i\; \backslash cap\; \backslash Delta\backslash delta\_j=\backslash empty$ dla każdego $i\backslash not=j.$ Oznaczmy przez $P$ ten konkretny podział.
Oznaczamy przez $\backslash Delta\; S\_i$ tę część powierzchni $S,$ której rzutem na płaszczyznę $XY$ jest $\backslash Delta\backslash delta\_i.$ Niech $|\backslash Delta\; \backslash delta\_i|$ oznacza pole powierzchni $\backslash Delta\; \backslash delta\_i,$ a $|\backslash Delta\; S\_i|$ pole powierzchni $\backslash Delta\; S\_i$. Na każdym $\backslash Delta\; S\_i$ obieramy dowolny punkt $p\_i=(x\_i,\; y\_i,\; z\_i)\backslash in\; \backslash Delta\; S\_i.$ Rzutem $p\_i$ na $XY$ jest $(x\_i,\; y\_i,0)\backslash in\backslash Delta\backslash delta\_i.$
Tworzymy sumę $\backslash sigma\; (P)\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; f(p\_i)|\backslash Delta\; S\_i|.$ Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów $P,$ żeby największa ze średnic $\backslash Delta\; S\_i$ dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich $p\_i$ ciąg sum $\backslash sigma(P)$ dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem
: $\backslash iint\backslash limits\_S\; f(x,\; y,\; z)\backslash ;dS$
i nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną.

Obliczanie

Płat dany jawnie

Jeśli płat dany równaniem $z\; =\; \backslash varphi(x,\; y),$ gdzie funkcja $\backslash varphi(x,\; y)$ jest klasy $C^1$ w $D,$ to
: $\backslash iint\backslash limits\_S\; f(x,\; y,\; z)\backslash ;dS\; =\; \backslash iint\backslash limits\_D\; f\backslash big(x,\backslash \; y,\backslash \; \backslash varphi(x,\; y)\backslash big)\backslash sqrt\{1+\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\backslash varphi\}\{\backslash partial\; x\}\backslash right)^2+\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\backslash varphi\}\{\backslash partial\; y\}\backslash right)^2\}\backslash ;dx\backslash ;dy.$

Płat dany parametrycznie

Niech płat dany jest równaniami $x\; =\; x(u,\; v),\backslash \; y\; =\; y(u,\; v),\backslash \; z\; =\; z(u,\; v)$ i ponadto zachodzą następujące warunki:
* funkcje $x(u,\; v),\backslash \; y(u,\; v),\backslash \; z(u,\; v)$ są klasy $C^1$ w $D;$
* $D$ jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką;
* różnym punktom wnętrza $S$ odpowiadają różne punkty $D;$
* wyrażenie jest różne od zera wewnątrz $D.$
Wtedy
: $\backslash iint\backslash limits\_S\; f(x,\; y,\; z)\backslash ;dS\; =\; \backslash iint\backslash limits\_D\; f\backslash big(x(u,v),\backslash \; y(u,v),\backslash \; z(u,v)\backslash big)\backslash sqrt\{H\}\backslash ;du\backslash ;dv.$
Uwaga. Wyrażenie $H$ jest sumą kwadratów minorów wziętych z macierzy Jakobiego

Przykłady zastosowania

Jeżeli funkcja $f(x,y,z)$ wyraża gęstość materialnego płata $S$ w punkcie $(x,y,z),$ to masa całego tego płata jest równa $\backslash iint\backslash limits\_S\; f(x,y,z)dS.$
Pole powierzchni płata $S$ jest równe $\backslash iint\backslash limits\_S\; dS.$

Całka zorientowana

Inne nazwy to całka powierzchniowa składowej normalnej wektora, strumień wektora przez powierzchnię, całka powierzchniowa drugiego rodzaju.

Definicja

Niech funkcja wektorowa $F\backslash colon\; \backslash \; S\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}^3,$ określona na powierzchni $S\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}^3,$ będzie ciągła.
Poprzez $D$ oznaczamy rzut powierzchni $S$ na płaszczyznę $XY.$
$D$ dzielimy na podobszary $\backslash Delta\backslash delta\_1,\; \backslash Delta\backslash delta\_2,\; \backslash dots,\; \backslash Delta\backslash delta\_n,$ takie że $\backslash Delta\backslash delta\_i\; \backslash cap\; \backslash Delta\backslash delta\_j=\backslash empty$ dla każdego $i\backslash not=j.$ Poprzez $P$ oznaczamy ten konkretny podział. Przez $\backslash Delta\; S\_i$ oznaczamy tę część powierzchni $S,$ której rzutem na płaszczyznę $XY$ jest $\backslash Delta\backslash delta\_i,$ a przez $|\backslash Delta\; S\_i|$ oznaczamy pole powierzchni $\backslash Delta\; S\_i.$
Na każdym $\backslash Delta\; S\_i$ obieramy dowolny punkt $p\_i=(x\_1,y\_i,z\_i)\backslash in\; \backslash Delta\; S\_i.$ Rzutem $p\_i$ na $XY$ jest $(x\_i,\; y\_i,\; 0)\backslash in\backslash Delta\backslash delta\_i.$
Tworzymy sumę $\backslash sigma(P)\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; F\_N(p\_i)|\backslash Delta\; S\_i|,$ gdzie $F\_N(p\_i)$ jest składową wektora $F(p\_i)=(X(p\_i),Y(p\_i),Z(p\_i))$ normalną do $\backslash Delta\; S\_i.$
Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów $P,$ żeby największa ze średnic $\backslash Delta\; S\_i$ dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich $p\_i$ ciąg sum $\backslash sigma(P)$ dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem
: $\backslash iint\backslash limits\_S\; X(x,y,z)dydz+Y(x,y,z)dzdx+Z(x,y,z)dxdy,$
lub
: $\backslash iint\backslash limits\_S\; Xdydz+Ydzdx+Zdxdy$
i nazywamy całką powierzchniową zorientowaną. Niekiedy używa się również oznaczenia $\backslash iint\backslash limits\_S\; \backslash mathbf\{F\}\backslash cdot\; d\backslash mathbf\{S\},$ $\backslash iint\backslash limits\_S\; \backslash vec\{F\}\backslash cdot\; d\backslash vec\{S\}$ lub podobnego.
Związek całki skierowanej z nieskierowaną jest następujący:
: $\backslash iint\backslash limits\_S\; \backslash left(X\backslash ;dy\backslash ;dz\; +\; Y\backslash ;dz\backslash ;dx\; +\; Z\backslash ;dx\backslash ;dy\backslash right)=\backslash iint\backslash limits\_S\; (X\backslash cos\backslash alpha\; +\; Y\backslash cos\backslash beta\; +\; Z\backslash cos\backslash gamma)\backslash ;dS,$ gdzie $\backslash alpha,\; \backslash \; \backslash beta,\backslash \; \backslash gamma$
to kąty pomiędzy wektorem normalnym do powierzchni S w punkcie $(x,\; y,\; z),$ a osiami układu współrzędnych.

Obliczanie

Płat dany jawnie

Niech płat jest zadany równaniem $z\; =\; \backslash varphi(x,\; y),$ gdzie funkcja $\backslash varphi$ jest klasy $C^1$ w $D.$ I niech $\backslash mathbf\{N\}=[-\backslash varphi\_x,\; -\backslash varphi\_y,\; 1]$ jest wektorem normalnym do $S$ skierowanym zgodnie z osią $OZ.$ Wtedy
: $\backslash iint\backslash limits\_S\backslash mathbf\{F\}(x,\; y,\; z)\; d\backslash mathbf\{\backslash ;S\}\; =\; \backslash varepsilon\backslash iint\backslash limits\_D\backslash mathbf\{F\}(x,\backslash \; y,\backslash \; \backslash varphi(x,\; y))\; \backslash mathbf\{N\}\; \backslash ;dx\backslash ;dy\; =$
: $=\; \backslash varepsilon\backslash iint\backslash limits\_D\backslash Big(-\; X\backslash left(x,\backslash \; y,\backslash \; \backslash varphi(x,\; y)\backslash right)\backslash varphi\_x\; –\; Y\backslash left(x,\backslash \; y,\backslash \; \backslash varphi(x,\; y)\backslash right)\backslash varphi\_Y\; +\; Z(x,\backslash \; y,\backslash \; \backslash varphi(x,\; y))\backslash Big)\backslash ;dx\backslash ;dy,$
gdzie $\backslash varepsilon\; =\; +1,$ jeśli płat $S$ jest zorientowany zgodnie z osią $OZ,$ i $\backslash varepsilon\; =\; -1,$ jeśli jest zorientowany przeciwnie.

Płat dany parametrycznie

Niech płat dany jest równaniami $x\; =\; x(u,\; v),\backslash \; y\; =\; y(u,\; v),\backslash \; z\; =\; z(u,\; v),$ gdzie wszystkie te funkcje są klasy $C^1$ w $D.$ I niech ponadto zachodzą następujące warunki:
* $D$ jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką;
* różnym punktom wnętrza $S$ odpowiadają różne punkty $D;$
* wyrażenie jest różne od zera wewnątrz $D$ (jest to suma kwadratów minorów macierzy jakobianowej ).
Wtedy:
: $\backslash iint\backslash limits\_S\; \backslash mathbf\{F\}(x,\; y,\; z)\; d\backslash mathbf\{\backslash ;S\}\; =\; \backslash varepsilon\backslash iint\backslash limits\_D\; \backslash mathbf\{F\}(x,\; y,\; z)\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{h\}\backslash ;du\backslash ;dv,$
gdzie:
:
Z własności iloczynu mieszanego mamy więc:
:
Tu $\backslash varepsilon=+1,$ gdy płat $S$ jest zorientowany zgodnie z wektorem h; $\backslash varepsilon=-1,$ gdy jest zorientowany przeciwnie.

Dane 3 rzuty

Jeśli płat $S$ można opisać wzorami $x\; =\; x(y,\; z),\backslash \; y\; =\; y(z,\; x),\backslash \; z\; =\; z(x,\; y),$ gdzie wszystkie te funkcje są określone w zbiorach $S\_\{yz\},$ $S\_\{zx\},$ $S\_\{xy\},$ będących rzutami $S$ odpowiednio na $OYZ,$ $OZX,$ $OXY,$ to
: $\backslash iint\backslash limits\_S\backslash mathbf\{F\}(x,\; y,\; z)\; d\backslash mathbf\{\backslash ;S\}\; =\; \backslash iint\backslash limits\_S\; \backslash left(X\backslash ;dy\backslash ;dz\; +\; Y\backslash ;dz\backslash ;dx\; +\; Z\backslash ;dx\backslash ;dy\backslash right)\; =$
: $=\; \backslash varepsilon\_x\backslash iint\backslash limits\_\{S\_\{yz\}\}\; X(x(y,\; z),\backslash \; y,\backslash \; z)\backslash ;dy\backslash ;dz\; \backslash ;+\backslash ;\; \backslash varepsilon\_y\backslash iint\backslash limits\_\{S\_\{zx\}\}\; Y(x,\backslash \; y(z,\; x),\backslash \; z)\backslash ;dx\backslash ;dz\; \backslash ;+\backslash ;\; \backslash varepsilon\_z\backslash iint\backslash limits\_\{S\_\{xy\}\}\; Z(x,\backslash \; y,\backslash \; z(x,\; y))\backslash ;dx\backslash ;dy.$
$\backslash varepsilon\_x=+1,\; \backslash varepsilon\_y=+1,\; \backslash varepsilon\_z=+1,$ gdy płat S jest zorientowany zgodnie z odpowiednią osią, a $-1$ gdy jest zorientowany przeciwnie. itd.
* Jeżeli jeden lub dwa rzuty płata S mają pole równe zero, to we wzorze pozostają tylko dwie lub jedna całka podwójna.
* Wzór pozostaje słuszny, jeżeli tylko wewnętrznym punktom płata można przyporządkować punkty rzutów.
* Aby zastosować tę metodę do innych płatów, należy je podzielić na skończona liczbę płatów spełniających założenia.

Przykłady

Całka powierzchniowa zorientowana występuje na przykład w prawie Gaussa (dla elektryczności, a także magnetyzmu i grawitacji) i prawie Ampère’a.