Dzisiaj jest 12 grudnia 2024 r.
Chcę dodać własny artykuł

Brzeg (matematyka)

Brzeg zbioru w matematyce

Brzeg zbioru to zbiór punktów, które są „graniczne” dla danego zbioru. Zachowanie funkcji na brzegu może różnić się od zachowania wewnątrz zbioru. Dlatego w analizie matematycznej pochodne funkcji zazwyczaj rozpatruje się w zbiorach otwartych, które nie mają brzegu. Zagadnienia brzegowe odnoszą się do równań różniczkowych z warunkami na brzegu zbioru.

Definicja

Niech X będzie przestrzenią topologiczną, a A \subset X zbiorem. Brzegem zbioru A nazywamy zbiór:

\mathrm{bd}\; A = \mathrm{cl}\; A \cap \mathrm{cl}\; A^\mathrm{c},

lub równoważnie:

\mathrm{bd}\; A = \mathrm{cl}\; A \setminus \mathrm{int}\; A.

Oznaczenia \mathrm{bd}\; A mogą być także przedstawiane jako \mathrm{fr}\; A lub \partial A. Punkty brzegu to te, których otoczenie zawiera zarówno punkty zbioru A, jak i jego dopełnienia A^\mathrm{c}.

Własności

Brzeg zbioru ma następujące właściwości:

  • \mathrm{bd}\; A = \mathrm{bd}\; A^\mathrm{c}
  • \mathrm{bd}\; A \subseteq \mathrm{cl}\; A
  • \mathrm{bd}\; A = \mathrm{cl}(\mathrm{bd}\; A) (zbiór domknięty)
  • \mathrm{cl}\; A = A \cup \mathrm{bd}\; A

Zbiór jest domknięty, gdy zawiera swój brzeg, a otwarty, gdy nie ma punktów wspólnych ze swoim brzegiem. Brzeg jest pusty, gdy zbiór jest jednocześnie otwarty i domknięty, co oznacza, że zbiór „nie ma brzegu”. Zbiory o pustym wnętrzu to zbiory brzegowe.

Dla dowolnego zbioru A zachodzi:

\mathrm{bd}\; A \supseteq \mathrm{bd}(\mathrm{bd}\; A),

gdzie równość występuje, gdy A jest brzegowy. Operator brzegu spełnia również właściwość idempotentności:

\mathrm{bd}(\mathrm{bd}\; A) = \mathrm{bd}(\mathrm{bd}(\mathrm{bd}\; A)).

Przykłady

W przypadku zbioru liczb rzeczywistych \mathbb{R} oraz jego naturalnej topologii zachodzą następujące zależności:

  • \mathrm{bd}\; \mathbb{R} = \mathrm{bd}\; \varnothing = \varnothing
  • \mathrm{bd}\; (0, 5) = \mathrm{bd}\; [0, 5) = \mathrm{bd}\; (0, 5] = \{0, 5\}
  • \mathrm{bd}\; \mathbb{Q} = \mathrm{bd}\; \mathbb{Q}^\mathrm{c} = \mathbb{R}

Brzeg zbioru może być nadzbiorem danego zbioru, a pojęcie brzegu zależy od topologii przestrzeni. Na przykład w przestrzeni euklidesowej \mathbb{R}^2 brzegiem koła jest okrąg, podczas gdy w \mathbb{R}^3 koło może być zbiorem brzegowym lub nie mieć brzegu.

Najnowsze aktualności: