Automorfizm: Definicja i Zastosowanie
Automorfizm to izomorfizm struktury matematycznej na samej sobie, co można rozumieć jako symetrię obiektu. Jest to odwzorowanie, które zachowuje strukturę danego obiektu.
W kontekście teorii kategorii, automorfizm definiuje się jako endomorfizm będący jednocześnie izomorfizmem. Morfizmy w tej teorii nie muszą być funkcjami, a obiekty nie muszą być zbiorami, jednak w praktyce najczęściej są to zbiory z dodatkową strukturą, a morfizmy to funkcje zachowujące tę strukturę.
W algebrze abstrakcyjnej obiektami mogą być grupy, pierścienie czy przestrzenie liniowe. Izomorfizm w tym kontekście odnosi się do wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów, które różnią się w zależności od typu struktury.
Grupa Automorfizmów
Zbiór wszystkich automorfizmów danego obiektu z działaniem składania tworzy grupę nazywaną grupą automorfizmów, oznaczaną jako . Właściwości tej grupy obejmują:
- Złożenie dwóch endomorfizmów jest endomorfizmem.
- Złożenie jest zawsze łączne.
- Istnieje morfizm identycznościowy.
- Każdy izomorfizm ma odwrotność, która również jest automorfizmem.
Automorfizmy Wewnętrzne i Zewnętrzne
Automorfizmy można podzielić na wewnętrzne i zewnętrzne, szczególnie w kontekście grup, pierścieni czy algebr Liego. Automorfizmy wewnętrzne to sprzężenia elementów w obrębie grupy. Na przykład, w grupie , sprzężenie przez element definiuje się jako .
Automorfizmy zewnętrzne to te, które nie są sprzężeniami. Grupa ilorazowa oznaczana jest jako .
Przykłady Automorfizmów
- Jedynym automorfizmem ciała prostego jest tożsamość.
- Jedynym automorfizmem ciała liczb rzeczywistych jest tożsamość.
- W przypadku ciała liczb zespolonych automorfizmami są tożsamość i sprzężenie zespolone. Istnieje nieskończona liczba nieciągłych automorfizmów o mocy .
Podsumowując, automorfizmy stanowią istotny element w teorii kategorii i algebrze abstrakcyjnej, a ich zrozumienie jest kluczowe dla analizy symetrii i struktur matematycznych.
