Automat Büchiego
Automat Büchiego to rozszerzenie automatu skończonego, który działa na nieskończonych słowach. Kluczowe elementy automatu Büchiego to:
- Alfabet
- Zbiór stanów, w tym stan startowy oraz stany akceptujące
- Funkcja przejścia, która określa, jak automat przechodzi między stanami na podstawie liter z alfabetu.
Słowo jest akceptowane, jeśli stan akceptujący występuje w nim nieskończenie wiele razy. W przeciwieństwie do zwykłych automatów skończonych, niedeterministyczne automaty Büchiego mają większą moc obliczeniową niż ich deterministyczne odpowiedniki.
Algorytmy budowania automatów
Dopełnienie automatu
Aby zbudować dopełnienie automatu Büchiego, należy zidentyfikować stany akceptujące i nieakceptujące. Wykonuje się następujące kroki:
- Tworzy się zbiór stanów akceptujących dla stanów nieakceptujących.
- Dodaje się odpowiednie przejścia między tymi stanami.
- Oznacza się nowe stany jako akceptujące.
W ten sposób uzyskuje się automat akceptujący słowa, które nie przynależą do oryginalnego języka.
Alternatywa automatów
Alternatywa dwóch automatów Büchiego jest budowana poprzez tworzenie par stanów (A, B). Zbiór stanów akceptujących zawiera te, w których przynajmniej jeden z automatów akceptuje słowo. Automat akceptuje słowo, jeśli przynajmniej jeden z automatów składowych je zaakceptuje.
Przecięcie automatów
Budowanie przecięcia automatów Büchiego jest bardziej skomplikowane. Tworzy się trójki stanów (A, B, X), gdzie:
- X = 0, oznacza że stan A jest akceptujący.
- X = 1, oznacza że stan B jest akceptujący.
- Stany z X = 2 są akceptujące.
Automat przecięcia akceptuje słowo, jeśli oba automaty składowe akceptują je nieskończenie wiele razy.
Przykład
Rozważmy automat Büchiego z alfabetem 0 i 1 oraz stanami A (startowy) i B (akceptujący). Przejścia są następujące:
- A → A przy 0
- A → B przy 1
- B → B przy 0
- B → A przy 1
Nieskończone słowa akceptowane przez ten automat to te, w których stan B występuje nieskończoność razy, co oznacza, że akceptowane są słowa zawierające nieskończoną liczbę jedynek lub parzystą liczbę jedynek.
Zmieniając stan startowy na B, uzyskujemy automat akceptujący słowa z nieskończoną lub parzystą liczbą jedynek.
Kategoria: Teoria automatów
