Analiza wymiarowa

Analiza wymiarowa

Analiza wymiarowa to narzędzie stosowane w fizyce, chemii oraz inżynierii, które pozwala na wyznaczanie warunków podobieństwa dynamicznego poprzez analizę wielkości fizycznych związanych z danym zjawiskiem.

Przykład zastosowania

Przykładem analizy wymiarowej jest opis spadku ciśnienia w przewodzie, który można przedstawić jako funkcję kilku parametrów fizycznych:

• Długość przewodu (l)
• Średnica przewodu (d)
• Prędkość płynu (u)
• Lepkość dynamiczna płynu (μ)
• Gęstość płynu (ρ)

Można to zapisać jako:

$\backslash Delta\; p\; =\; f(d,\; l,\; u,\; \backslash mu,\; \backslash rho).$

Wymiary parametrów są następujące:

• [d] = L
• [l] = L
• [u] = L/T
• [μ] = M/(L·T)
• [ρ] = M/L³

Funkcję można wyrazić w postaci potęgowej:

$\backslash Delta\; p\; =\; C\; \backslash cdot\; d^A\; \backslash cdot\; l^B\; \backslash cdot\; u^D\; \backslash cdot\; \backslash mu^E\; \backslash cdot\; \backslash rho^F.$

Stosując zasadę zgodności wymiarowej, porównujemy wymiary po obu stronach równania, co prowadzi do układu równań:

$\backslash begin\{array\}\{l\}\; -1\; =\; A\; +\; B\; +\; D\; –\; E\; –\; 3F\; \backslash \backslash \; 1\; =\; E\; +\; F\; \backslash \backslash \; -2\; =\; -D\; –\; E\; \backslash end\{array\}$

Rozwiązując układ równań, uzyskujemy ostateczną postać wzoru:

$\backslash Delta\; p\; =\; C\; \backslash cdot\; d^\{-E-B\}\; \backslash cdot\; l^B\; \backslash cdot\; u^\{2-E\}\; \backslash cdot\; \backslash mu^E\; \backslash cdot\; \backslash rho^\{1-E\}.$

Twierdzenie Buckinghama

Twierdzenie Buckinghama, znane również jako twierdzenie Π, określa, że liczba modułów bezwymiarowych jest równa liczbie niezależnych parametrów fizycznych pomniejszonej o liczbę wymiarów podstawowych (metr, sekunda, kilogram, kelwin, amper, kandela).

Dla równania z n zmiennymi można zapisać:

$f(Q\_1,\; Q\_2,\; Q\_3,\backslash dots,Q\_n)\; =\; 0.$

Jeśli oznaczymy liczbę parametrów podstawowych przez r, to zgodnie z twierdzeniem Π liczba modułów bezwymiarowych wynosi n – r. Na przykład, w przypadku sześciu parametrów i trzech wymiarów podstawowych, liczba modułów bezwymiarowych wynosi 3.