Analiza funkcjonalna
Analiza funkcjonalna to dział matematyki koncentrujący się na badaniu własności przestrzeni funkcyjnych. Jej rozwój związany jest z badaniami nad operatorami, szczególnie transformacją Fouriera, oraz równaniami różniczkowymi i całkowymi. Termin funkcjonał odnosi się do funkcji, której argumentem jest funkcja, a wynikiem liczba, co wskazuje na związek z rachunkiem wariacyjnym. W analizie funkcjonalnej bada się także bardziej ogólne operatory, gdzie zarówno argumenty, jak i wartości mogą być wektorami.
Pierwsze prace w tej dziedzinie stworzył Vito Volterra, a ogólną teorię sformułował Stefan Banach.
Przestrzenie w analizie funkcjonalnej
Analiza funkcjonalna bada różne przestrzenie, w tym przestrzenie Frécheta oraz unormowane zupełne przestrzenie liniowe, znane jako przestrzenie Banacha. Przykładem przestrzeni Banacha są przestrzenie Hilberta, które mają kluczowe znaczenie w mechanice kwantowej. Istotnym przedmiotem badań są ciągłe przekształcenia liniowe na tych przestrzeniach, co prowadzi do rozwoju pojęć takich jak C*-algebry.
Przestrzenie te są liniowe, co zbliża je do badań algebry liniowej, jednak ich charakter różni się. W analizie funkcjonalnej skupia się na topologiach, normach i iloczynach skalarach, co prowadzi do rozważań o przestrzeniach nieskończeniewymiarowych.
Najważniejsze wyniki
- Twierdzenie Banacha-Steinhausa: dotyczy ograniczonych zbiorów operatorów.
- Twierdzenie spektralne: reprezentuje operatory samosprzężone na przestrzeni Hilberta przy użyciu miar spektralnych, istotne w mechanice kwantowej.
- Twierdzenie Hahna-Banacha: pozwala na rozszerzanie funkcjonałów z podprzestrzeni na całą przestrzeń, zachowując normę.
- Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym oraz twierdzenie o wykresie domkniętym.
