Alternatywa

Alternatywa w Logice

Alternatywa, nazywana również sumą logiczną, jest operacją logiczną, w której zdania składowe, oznaczane jako $p$ i $q$, nazywane są składnikami. Alternatywa jest prawdziwa, jeśli przynajmniej jeden ze składników jest prawdziwy. W przeciwnym razie, alternatywa jest fałszywa.

Notacja

Różni autorzy stosują różne symbole dla alternatywy. W językach programowania najczęściej używa się spójnika OR, a w C/C++ oznaczenie to przyjmuje postać „||”.

Przykłady

• „12 dzieli się przez 3 lub Madryt jest stolicą Hiszpanii” – prawdziwa, ponieważ oba składniki są prawdziwe.
• „10 > 12 lub 10 < 11” – prawdziwa, ponieważ jeden ze składników (10 < 11) jest prawdziwy.
• „Kraków leży nad Odrą lub Wisła nie płynie w Polsce” – fałszywa, ponieważ oba składniki są fałszywe.

Własności Alternatywy

Alternatywa charakteryzuje się następującymi cechami:

• Przemienność: $p\backslash ,\; \backslash lor\backslash ,\; q\; =\; q\backslash ,\; \backslash lor\backslash ,\; p$
• Łączność: $p\backslash ,\; \backslash lor\backslash ,\; (q\backslash ,\; \backslash lor\backslash ,\; r)\; =\; (p\backslash ,\; \backslash lor\backslash ,\; q)\backslash ,\; \backslash lor\backslash ,\; r$
• Idempotentność: $p\backslash ,\backslash lor\backslash ,p\backslash ,\backslash Leftrightarrow\backslash ,p$
• Rozdzielność względem koniunkcji:
  • $p\backslash ,\backslash land\backslash ,(q\backslash ,\backslash lor\backslash ,r)\backslash ,\backslash Leftrightarrow\backslash ,(p\backslash ,\backslash land\backslash ,q)\backslash ,\backslash lor\backslash ,(p\backslash ,\backslash land\backslash ,r)$
  • $p\backslash ,\backslash lor\backslash ,(q\backslash ,\backslash land\backslash ,r)\backslash ,\backslash Leftrightarrow\backslash ,(p\backslash ,\backslash lor\backslash ,q)\backslash ,\backslash land\backslash ,(p\backslash ,\backslash lor\backslash ,r)$
• Prawa De Morgana:
  • $\backslash neg\backslash ,(p\backslash ,\backslash lor\backslash ,q)\; \backslash Leftrightarrow\; (\backslash neg\backslash ,p\backslash ,\backslash land\backslash ,\backslash neg\backslash ,q)$
  • $\backslash neg\backslash ,(p\backslash ,\backslash land\backslash ,q)\; \backslash Leftrightarrow\; (\backslash neg\backslash ,p\backslash ,\backslash lor\backslash ,\backslash neg\backslash ,q)$

Alternatywa w Języku Naturalnym

W potocznym znaczeniu „alternatywa” odnosi się do wyboru pomiędzy dwiema wykluczającymi się opcjami, co jest zbieżne z matematycznym pojęciem alternatywy rozłącznej.