Algebra uniwersalna

Algebra uniwersalna, znana również jako algebra ogólna, to dział matematyki badający ogólne struktury algebraiczne. Stanowi fundament teorii specyfikacji algebraicznych, a jej kluczowym pojęciem jest algebra, definiowana jako zbiór A z operacjami n-arnymi, nazywanymi sygnaturą.

Definicja algebry

Algebrę definiuje się jako zbiór A wraz z przyporządkowaniem symboli działań $d_k$ z rozłącznej sumy zbiorów $D=\bigcup_{i=0}^n D_i$ do działań $\phi_k\colon A^k \to A$ . Można ją także zdefiniować jako parę $\mathcal A = (A, F_A)$ , gdzie $F$ jest zbiorem typów algebry.

Przykłady algebr

Półgrupa: Algebra $G$ z działaniem $\circ$ , które jest łączne.
Grupa: Algebra $G$ z elementem neutralnym $e$ , działaniem $\circ$ , które jest łączne oraz spełnia warunki: $a \circ e = a$ i $a \circ a^{-1} = e$ .
Krata: Algebra $A$ z działaniami $\lor$ i $\land$ .

Podalgebra

Podalgebrą algebry $A$ z działaniami $F_A$ nazywa się niepusty zbiór $B \subseteq A$ , dla którego każde działanie w $F_A$ ograniczone do $B$ jest także działaniem w $B$ .

Kongruencje

Kongruencją w algebrze $A$ nazywamy relację równoważności $\equiv$ , która spełnia warunek zachowania działań: jeśli $x_1 \equiv y_1$ , $x_2 \equiv y_2$ , …, $x_k \equiv y_k$ , to $d_k(x_1, x_2, \ldots) \equiv d_k(y_1, y_2, \ldots)$ .

Algebra ilorazowa

Na podstawie kongruencji $\equiv$ w algebrze $A$ można skonstruować nową algebrę $B = A/_\equiv$ . Działania w tej algebrze definiuje się wzorem: $\phi_\equiv([x_1],[x_2], \ldots) := [\phi(x_1,x_2,\ldots)]$ .

Homomorfizm algebr

Homomorfizmem algebr $A$ i $B$ nazywamy funkcję $\phi\colon A \to B$ , która dla każdego działania $d_k\$ i argumentów $x_1, x_2, \ldots$ spełnia warunek: $\phi(d_k(x_1,x_2,\ldots)) = d_k(\phi(x_1), \phi(x_2), \ldots)$ .

Najnowsze aktualności:

Algebra uniwersalna