Algebra nad ciałem

Algebra nad ciałem

Algebra nad ciałem, znana również jako algebra liniowa, to przestrzeń liniowa z wprowadzonym dwuargumentowym działaniem mnożenia wektorów. Ta struktura sprawia, że algebra staje się pierścieniem, choć niekoniecznie łącznym.

Definicja algebry

Niech $X$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K$. Działanie mnożenia wektorów $X\; \backslash times\; X\; \backslash to\; X$ jest określone przez następujące warunki dla dowolnych wektorów $\backslash mathbf\; x,\; \backslash mathbf\; y,\; \backslash mathbf\; z\; \backslash in\; X$ oraz skalarów $a\; \backslash in\; K$:

• Rozdzielność względem dodawania wektorów: $(\backslash mathbf\; x\; +\; \backslash mathbf\; y)\backslash mathbf\; z\; =\; \backslash mathbf\{xz\}\; +\; \backslash mathbf\{yz\}$, $\backslash mathbf\; x(\backslash mathbf\; y\; +\; \backslash mathbf\; z)\; =\; \backslash mathbf\{xy\}\; +\; \backslash mathbf\{xz\}$.
• Zgodność z mnożeniem przez skalary: $a(\backslash mathbf\{xy\})\; =\; (a\backslash mathbf\; x)\backslash mathbf\; y\; =\; \backslash mathbf\; x(a\; \backslash mathbf\; y)$.

Wówczas $X$ nazywa się algebrą nad ciałem $K$.

Baza, wymiar i podstruktury algebry

Baza algebry $X$ to baza jej przestrzeni liniowej. Wymiar algebry to wymiar tej przestrzeni. Podalgebrą algebry $X$ jest jej podprzestrzeń liniowa, która jest również podpierścieniem.

Ideał algebry to podprzestrzeń liniowa, która jest lewostronnym lub prawostronnym ideałem pierścienia $X$.

Szczególne rodzaje algebr

• Algebra łączna – mnożenie wektorów jest łączne.
• Algebra przemienna – mnożenie wektorów jest przemienne, co prowadzi do powstania pierścienia przemiennego.
• Algebra z jedynką – istnieje element neutralny różny od zera.
• Algebra z dzieleniem – każdy niezerowy element jest odwracalny, a algebra tworzy ciało.

Homomorfizm algebr

Homomorfizm algebr to funkcja, która jest jednocześnie homomorfizmem przestrzeni liniowych i pierścieni. Dla algebry $(A\_1,\; \backslash cdot),\; \backslash \; (A\_2,\; \backslash bullet)$ nad tym samym ciałem $K$, funkcja $h:A\_1\; \backslash to\; A\_2$ spełnia:

• $h(v+\; w)=h(v)+h(w)$
• $h(\backslash alpha\; v)=\backslash alpha\; h(v)$
• $h(v\backslash cdot\; w)=h(v)\backslash bullet\; h(w)$

Przykłady algebr

• Dowolne ciało – tworzy algebrę nad sobą.
• Algebra kwaternionów – algebra nieprzemienna.
• Algebra macierzy – zbiory macierzy kwadratowych nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych.
• Algebra endomorfizmów – zbiór endomorfizmów przestrzeni liniowej.
• Algebra Liego – mnożenie wektorów jest dwuliniowe i antysymetryczne.
• Algebra zerowa – iloczyn dowolnych dwóch elementów wynosi 0.