Aksjomat zastępowania

Aksjomat zastępowania

Aksjomat zastępowania to jeden z kluczowych aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla. Jest to schemat aksjomatów, w którym występuje dowolny predykat P, spełniający określone warunki.

Definiując predykat P(x,y), możemy stwierdzić, że dla każdego zbioru x istnieje dokładnie jeden zbiór y, taki że P(x, y). Wówczas dla dowolnego zbioru A istnieje zbiór B, gdzie y należy do B wtedy i tylko wtedy, gdy w zbiorze A istnieje element x, spełniający relację P.

Wymogi predykatu

W celu spełnienia aksjomatu, predykat P musi być funkcyjny, co oznacza, że każdemu x odpowiada dokładnie jeden y taki, że P(x, y) jest prawdziwe. Możemy zdefiniować predykat funkcyjny F, który jest równoważny P:

$forall\; x\; forall\; y\; :\; F(x)=y\; iff\; P(x,\; y)$

Na podstawie tego, aksjomat zastępowania można zapisać jako:

$forall\; A\; exist\; B\; forall\; y:\; y\; in\; B\; iff\; exist\; x:\; x\; in\; A\; land\; y\; =\; F(x)$

Oznacza to, że dla każdego zbioru A istnieje zbiór B, w którym elementy y są obrazem funkcji F przypisanej elementom zbioru A.

Znaczenie aksjomatu

Aksjomat zastępowania stwierdza, że dla danego predykatu funkcyjnego F i zbioru A można zdefiniować zbiór będący obrazem F na A, nazywany F[A]. Został on dodany przez Fraenkla do pierwotnego zbioru aksjomatów Zermela, tworząc teorię mnogości Zermela-Fraenkla.

Warto dodać, że istnieje również słabsza wersja tego aksjomatu, znana jako aksjomat wycinania.

Linki zewnętrzne

• [dostęp 2024-03-07]