Aksjomat podzbiorów

Aksjomat podzbiorów

Aksjomat podzbiorów, znany również jako aksjomat wyróżniania lub wycinania, jest jednym z kluczowych aksjomatów teorii mnogości w ujęciu Zermela-Fraenkla. Został wprowadzony przez Zermela w 1908 roku, a jego współczesna forma pochodzi od Skolema.

Aksjomat ten stwierdza, że dla danego predykatu P, który nie zawiera symbolu B, istnieje zbiór B zdefiniowany w następujący sposób:

$forall\; A,\; exists\; B,\; forall\; z\; :\; z\; in\; B\; iff\; z\; in\; A\; land\; P(z).$

Oznacza to, że każdy element zbioru A, który spełnia warunek określony przez formułę P, tworzy nowy zbiór B zawarty w A.

Aksjomat podzbiorów nie jest pojedynczym aksjomatem, lecz schematem aksjomatów, co oznacza, że dla każdej formuły istnieje odpowiadający jej aksjomat, co skutkuje nieskończonym zbiorem aksjomatów.

Zależność od pozostałych aksjomatów

Definiując predykat funkcyjny $F\{:\}$ jako:

możemy zauważyć, że aksjomat pary potwierdza istnienie zbioru $\{x,x\}=\{x\}$, a zbiór pusty $varnothing$ wynika z aksjomatu zbioru pustego. Zgodnie z aksjomatem zastępowania, każdy predykat funkcyjny ma swój obraz, co dowodzi istnienia rodziny zbiorów $F[A]$. Z kolei mocą aksjomatu sumy wynika istnienie zbioru $B$.

Podsumowanie

Aksjomat podzbiorów jest fundamentalnym elementem teorii mnogości, który pozwala na definiowanie nowych zbiorów na podstawie predykatów. Jego zrozumienie jest kluczowe dla dalszych badań w dziedzinie matematyki i logiki.