Aksjomat indukcji

Aksjomat Indukcji

Aksjomat indukcji jest kluczowym elementem teorii arytmetyki liczb naturalnych. Stanowi on formalizację zasady indukcji matematycznej i jest nieskończonym zbiorem aksjomatów pierwszego rzędu, pozalogicznych.

Treść Aksjomatu

Aksjomat indukcji można zapisać w postaci:

$(T(1)\; \backslash wedge\; \backslash forall\; n:\; T(n)\; \backslash Rightarrow\; T(n+1))\; \backslash Rightarrow\; \backslash forall\; n:\; T(n),$

gdzie:

• $\backslash forall\; n$ oznacza „dla każdego n”,
• $\backslash Rightarrow$ to implikacja,
• $\backslash wedge$ oznacza „i”.

Jednakże ten zapis nie spełnia założeń niektórych podejść, jak analiza Gödla dotycząca niesprzeczności teorii matematycznych. Problemem jest, że kwantyfikator ogólny „dla każdego n” nie może być zapisany jako funkcja obliczalna. Dodatkowo, ze względu na użycie kwantyfikatora, to zdanie jest zdaniem drugiego rzędu, co oznacza, że operuje na obiektach niezdefiniowanych w teorii.

Alternatywna Forma Aksjomatu

Aksjomat indukcji można również zapisać jako koniunkcję zbioru aksjomatów:

$T(1)\; \backslash wedge\; (T(1)\; \backslash Rightarrow\; T(2))\; \backslash Rightarrow\; T(2)\; \backslash wedge\; \backslash ldots$

W tej notacji nie użyto nieograniczonego kwantyfikatora ogólnego, co sprawia, że wszystkie zdania są pierwszego rzędu. Umożliwia to formalną poprawność sformułowania aksjomatu.

Znaczenie Aksjomatu Indukcji

Aksjomaty indukcji odgrywają istotną rolę w teorii arytmetyki. Istnieją przypadki, w których twierdzenia $T(n)$ mogą być wykazane dla każdego $n$, ale nie mogą być dowiedzione w ramach arytmetyki liczb naturalnych. Takie twierdzenia są niedowiedlne, ponieważ dowody nie mogą być zredukowane do kroku indukcyjnego, który obejmowałby wszystkie możliwe wartości $n$.