Aksjomat Ekstensjonalności
Aksjomat ekstensjonalności, znany również jako aksjomat jednoznaczności, jest jednym z kluczowych aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla, sformułowany przez Ernsta Zermela w 1908 roku. Postuluje on, że dwa zbiory są identyczne, jeśli zawierają te same elementy.
Formalnie aksjomat można wyrazić w języku pierwszego rzędu jako:
Interpretacja
Aksjomat ten stwierdza, że dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy. Oznacza to, że każdy zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje elementy. Na przykład, jeśli istnieje zbiór składający się z wszystkich elementów spełniających daną formułę , to zbiór ten jest jednoznacznie określony przez tę formułę.
W kontekście relacji, aksjomat ekstensjonalności można interpretować jako stwierdzenie, że relacja należenia jest ekstensjonalna. Oznacza to, że dla dowolnych elementów i w zbiorze , jeśli , to
Inne Sformułowania Aksjomatu
- Logikę pierwszego rzędu można rozwijać bez użycia symbolu równości. W takim podejściu aksjomat ekstensjonalności formułuje się w bardziej skomplikowany sposób:
- W teorii mnogości z urelementami aksjomat dotyczy wyłącznie zbiorów.
- W teorii klas (Kelleya-Morse’a oraz NBG) sformułowany jest odpowiedni aksjomat ekstensjonalności, który wskazuje, że klasy o tych samych elementach są równe.
Podsumowanie
Aksjomat ekstensjonalności jest fundamentalnym elementem teorii mnogości, zapewniającym jednoznaczne określenie zbiorów na podstawie ich elementów. Jego interpretacja i różne sformułowania w kontekście relacji i teorii klas potwierdzają jego znaczenie w matematyce.
