Cyrkulacja

Cyrkulacja – definicja i właściwości

Cyrkulacja, oznaczana jako $mathbf\; Gamma$, to wielkość skalarna wprowadzona w dynamice płynów, a następnie uogólniona na wszystkie pola wektorowe. Dla przepływającego płynu o prędkości $mathbf\{V\}$ wzdłuż zamkniętej krzywej $C$, cyrkulację oblicza się według wzoru:

$Gamma=ointlimits\_Cmathbf\{V\}cdotmathbf\{ds\},$

gdzie $mathbf\{ds\}$ to wektor styczny do krzywej. Niezerowa cyrkulacja wskazuje na zawirowania płynu, a jej dodatnia wartość oznacza ruch zgodny z kierunkiem całkowania. Zgodnie z twierdzeniem Kutty-Żukowskiego, w przepływie laminarnym cyrkulacja wokół poruszającego się ciała jest stała dla wszystkich krzywych całkowania, a siła nośna jest z nią proporcjonalna.

Uogólniona definicja cyrkulacji

Dla pola wektorowego $overline\{F\}(x,y,z)$ wzdłuż krzywej $L$, cyrkulację można określić wzorem:

$Gamma\; =\; ointlimits\_L\; overline\{F\}\; cdot\; overline\{dl\},$

gdzie $overline\{dl\}$ to infinitezymalny wektor styczny do krzywej. Przy parametryzacji krzywej $overlinevarphi(t)$ w przedziale $[a,b]$, wzór przyjmuje postać:

$Gamma\; =\; intlimits\_a^b\; left(\; overline\{F\}(t)\; cdot\; frac\{d\; overlinevarphi\}\{dt\}\; right)\; dt.$

Związek cyrkulacji z rotacją

Twierdzenie Stokesa łączy całkę po zamkniętej krzywej z rotacją przenikającą przez powierzchnię ograniczoną tą krzywą:

$Gamma=ointlimits\_Cmathbf\{V\}cdotmathbf\{ds\}=int!!!intlimits\_S(nablatimesmathbf\{V\})cdotmathbf\{dS\}.$

Z tego związku wynika, że:

$hat\{n\}\; cdot\; overline\{rot\; F\}\; =\; lim\_\{S\; to\; 0\}\; frac\{Gamma\}\{S\},$

gdzie $hat\{n\}$ jest wersorem normalnym do powierzchni $S$. Oznacza to, że iloczyn skalarny rotacji z wersorem normalnym w danym punkcie jest równy granicy ilorazu cyrkulacji przez pole powierzchni, gdy powierzchnia dąży do zera.

Podsumowując, cyrkulacja jest kluczowym pojęciem w dynamice płynów, wpływającym na siły nośne oraz zawirowania w płynach.