Relacja pełna

Relacja pełna

Relacja pełna, znana także jako relacja całkowita, to relacja obejmująca wszystkie elementy danego zbioru. W przypadku relacji binarnej na zbiorze $X$, relacja ta występuje, gdy każde dwa elementy tego zbioru są ze sobą w relacji.

Definicja

Niech $A\_1,\; dots,\; A\_n$ będą dowolnymi zbiorami, a $A\; =\; A\_1\; times\; ldots\; times\; A\_n.$ Relacja n-argumentowa $varrho\; subseteq\; A$ jest uznawana za pełną, jeśli $varrho\; =\; A.$ Oznacza to, że dla każdego n-elementowego zbioru $(a\_1,\; a\_2,\; dots,\; a\_n)\; in\; A$ zachodzi $varrho(a\_1,\; a\_2,\; dots,\; a\_n),$ co dowodzi, że wszystkie elementy są ze sobą w relacji.

Własności

• Relacja pełna jest całkowicie określona przez projekcje na wszystkie współrzędne. Istnieje tylko jedna dwuczłonowa relacja pełna na zbiorze $X$ – jest to $X\; times\; X.$
• Dwuczłonowa relacja całkowita jest zwrotna, symetryczna, spójna i przechodnia, co czyni ją relacją równoważności z jedną klasą abstrakcji.
• Jeśli zbiór $X$ jest niepusty, to binarna relacja całkowita na $X$ nie jest przeciwzwrotna, antysymetryczna ani przeciwsymetryczna.