Spirala logarytmiczna

Spirala logarytmiczna

Spirala logarytmiczna, znana również jako spirala równokątna, to krzywa, która przecina wszystkie półproste wychodzące z ustalonego punktu (biegunu) pod stałym kątem. Opisana po raz pierwszy przez Albrechta Dürera w 1525 roku, spirala była później badana przez Kartezjusza i Jacoba Bernoulliego, który nazwał ją „cudowną spiralą”. W przeciwieństwie do spirali Archimedesa, odległości między zwojami spirali logarytmicznej rosną w postępie geometrycznym.

Równania opisujące spiralę

Współrzędne biegunowe spirali logarytmicznej można opisać równaniami:

• $r\; =\; ae^\{bvarphi\},\; quad\; varphi\; in\; (-infty,\; +infty)$
• $varphi\; =\; frac\{1\}\{b\}\; lnleft(frac\{r\}\{a\}right),\; quad\; r\; >\; 0$

W układzie kartezjańskim równania parametryczne mają postać:

• $x(varphi)\; =\; ae^\{bvarphi\}\; cos(varphi)$
• $y(varphi)\; =\; ae^\{bvarphi\}\; sin(varphi)$

Własności spirali logarytmicznej

• Dla $varphi\; to\; -infty$ spirala zbliża się asymptotycznie do bieguna, podczas gdy dla $varphi\; to\; +infty$ zwoje rosną nieograniczenie.
• Stosunek pochodnej promienia do promienia jest stały i równy współczynnikowi wykładnika: $frac\{r\text{'}(varphi)\}\{r(varphi)\}\; =\; b$.
• Współczynnik $b$ określa szybkość skręcania spirali oraz kąt $alpha$ między spiralą a promieniami z bieguna: $b\; =\; operatorname\{ctg\},alpha$.
• Wartość $a$ odpowiada za wielkość spirali oraz jej położenie względem bieguna.
• Odległość między pętlami spirali rośnie w postępie geometrycznym.
• Można okrążyć biegun dowolną liczbę razy, nie dochodząc do niego, a droga do bieguna jest skończona.

Spirale logarytmiczne w przyrodzie

Spirala logarytmiczna występuje w wielu zjawiskach naturalnych, takich jak:

• Droga owadów do źródła światła, gdzie owady utrzymują stały kąt w stosunku do światła.
• Ramiona galaktyk spiralnych, jak Droga Mleczna, które mają kąt około 12°.
• Ramiona cyklonów tropikalnych, takich jak huragany.
• Muszle mięczaków, które przyjmują spiralny kształt w wyniku algorytmu geometrycznego.

Spirala logarytmiczna jest zatem nie tylko interesującym obiektem matematycznym, ale także powszechnie występującym wzorem w naturze.