Spirala hiperboliczna

Spirala hiperboliczna

Spirala hiperboliczna to krzywa płaska opisana w układzie współrzędnych biegunowych za pomocą wzoru:

$r=frac\{a\}\{varphi\},$

gdzie $a$ jest stałą. W miarę jak kąt $varphi$ dąży do nieskończoności, promień wodzący zbliża się do zera. Biegun spirali hiperbolicznej stanowi punkt asymptotyczny, wokół którego spirala wielokrotnie się zwija, nigdy go jednak nie osiągając.

Przechodząc do układu kartezjańskiego, za pomocą przekształceń:

$begin\{cases\}x\; =\; r\; cos\; varphi\; \backslash \; y\; =\; r\; sin\; varphiend\{cases\}$

otrzymujemy równanie parametryczne spirali hiperbolicznej:

$begin\{cases\}x(t)\; =\; a\; frac\{cos\; t\}\{t\}\; \backslash \; y(t)\; =\; a\; frac\{sin\; t\}\{t\}end\{cases\}$

gdzie $t$ jest parametrem równania. W miarę jak $t$ dąży do zera, spirala ma asymptotę:

$lim\_\{tto\; 0\}x(t)\; =\; alim\_\{tto\; 0\}frac\{cos\; t\}\{t\}=infty$
$lim\_\{tto\; 0\}y(t)\; =\; alim\_\{tto\; 0\}frac\{sin\; t\}\{t\}=acdot\; 1=a.$

Własności spirali hiperbolicznej

• Podstyczna spirali hiperbolicznej opisana jest równaniem $y=-a.$
• Wymiar pudełkowy spirali hiperbolicznej, będącej spirala algebraiczną, jest większy od 1, w przeciwieństwie do spirali logarytmicznej, której wymiar pudełkowy wynosi 1.