Model Isinga

Model Isinga

Model Isinga to matematyczny model stosowany w mechanice statystycznej, który bada przejścia fazowe. Opracowany w 1920 roku przez Wilhelma Lenza, służy do analizy ferromagnetyzmu.

Definicja

Model ten opisuje system z dyskretnymi zmiennymi – spinami (s), które mogą przyjmować wartości +1 lub -1. Energia oddziaływania spinów zależy od ich orientacji, przyjmując jedną z dwóch wartości.

Hamiltonian modelu Isinga w zewnętrznym polu

Hamiltonian modelu Isinga, uwzględniający oddziaływania spinów oraz zewnętrzne pole magnetyczne, zapisuje się jako:

$H\; =\; -frac\{1\}\{2\}\; sum\_\{langle\; i,\; jrangle\}\; J\_\{ij\}\; S\_i\; S\_j\; –\; sum\_i\; h\_i\; S\_i.$

Parametr $J\_\{ij\}$ określa charakter oddziaływań:

• $J\_\{ij\}\; >\; 0$ – ferromagnetyczne,
• – antyferromagnetyczne,
• $J\_\{ij\}\; =\; 0$ – brak oddziaływania.

Namagnesowanie $m$ definiuje się jako:

$m\; =\; frac\{1\}\{N\}\; sum\_i\; langle\; S\_i\; rangle.$

Ferromagnetyzm występuje, gdy $m\; neq\; 0$ w zerowym polu magnetycznym.

Suma statystyczna w modelu Isinga

Suma statystyczna $Z$ modelu Isinga wyraża się jako:

$Z\; =\; sum\_\{S\_1,\; S\_2,\; dots,\; S\_N\}\; exp[-beta\; H\; (S\_1,\; S\_2,\; dots,\; S\_N)].$

Namagnesowanie można wyrazić przez pochodną logarytmu sumy statystycznej względem pola:

$m\; =\; kT\; frac\{1\}\{N\}\; frac\{partial\}\{partial\; h\}\; ln\; Z.$

Model Isinga w jednym wymiarze

W układzie jednowymiarowym stosuje się warunki periodyczne. Hamiltonian przyjmuje postać:

$H\; =\; -J\; sum\_i\; S\_i\; S\_\{i+1\}\; –\; h\; sum\_i\; S\_i.$

Statystyczna suma stanów dla tego modelu wynosi:

$Z\; =\; Tr(M^N),$
gdzie $M$ jest macierzą opisującą interakcje spinów. Wyznaczenie wartości własnych macierzy prowadzi do określenia sumy statystycznej:

$Z\; =\; \{lambda\_1\}^N\; +\; \{lambda\_2\}^N.$

Największa wartość własna $lambda\_1$ określa stabilność fazy oraz umożliwia obliczenie namagnesowania:

$m\; =\; frac\; \{sinh\; (beta\; h)\}\; \{sqrt\; \{cosh^2\; (beta\; h)\; –\; 2\; exp\; (-2\; beta\; J)\; sinh\; (2\; beta\; J)\}\}.$

Dla $h=0$ namagnesowanie wynosi $m=0$, co oznacza brak ferromagnetyzmu w układzie jednowymiarowym.