Krzywa Kocha

Krzywa Kocha

Krzywa Kocha to fraktalna krzywa, która została po raz pierwszy opisana przez Helgego von Kocha w 1904 roku w pracy zatytułowanej Sur une courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire. Krzywa ta jest nieskończenie długa, ale mieści się na skończonej powierzchni, co pozwala na jej przybliżone narysowanie.

Tworzenie krzywej Kocha

Krzywa Kocha powstaje z odcinka, który jest dzielony na trzy części. Środkową część zastępuje „ząbek” w kształcie trójkąta równobocznego, którego boki mają długość równą 1/3 długości pierwotnego odcinka. Proces ten powtarza się w nieskończoność dla każdego fragmentu odcinka.

Kroki konstrukcji

• Krok 0: Na początku mamy pojedynczy odcinek.
• Krok 1: Po przekształceniu odcinek dzieli się na 4 mniejsze odcinki, każdy o długości 1/3 pierwotnego.
• Krok 2: W tym kroku powstaje 16 odcinków, każdy o długości 1/9 pierwotnego.
• Krok 3: Proces kontynuuje się, wytwarzając 64 odcinki o długości 1/27 pierwotnego.

Wymiar fraktalny

Wymiar Kołmogorowa krzywej Kocha można obliczyć, analizując $k$-ty krok konstrukcji. Wówczas istnieje $4^k$ odcinków, każdy o długości $(tfrac\{1\}\{3\})^k\; =\; 3^\{-k\}$. Wymiar fraktalny można obliczyć ze wzoru:

$d=lim\; limits\_\{ktoinfty\}\; frac\{logleft(4^kright)\}\{logleft(frac\{1\}\{3^\{-k\}\}right)\}=frac\{log(4)\}\{log(3)\}\; approx\; 1\{,\}26186$

Ostatecznie, krzywa Kocha jest interesującym przykładem zastosowania matematyki fraktalnej, łączącym prostotę konstrukcji z nieskończoną złożonością.