Arytmetyzacja języka

Arytmetyzacja języka

Arytmetyzacja języka, znana również jako arytmetyzacja składni, to metoda przyporządkowywania liczb naturalnych wszystkim wyrażeniom w danej teorii. Została wprowadzona przez Kurta Gödla i stanowi kluczowy element dowodu jego słynnego twierdzenia.

Aby przyporządkować liczbę każdemu wyrażeniu, najpierw przypisuje się liczby podstawowym znakom teorii, takim jak znaki stałe i zmienne. Następnie te liczby są używane do numerowania wyrażeń, które mogą być zarówno pojedynczymi symbolami, jak i ciągami znaków (formułami) lub zbiorami formuł. W rezultacie każde wyrażenie A posiada unikalny numer, oznaczany jako $mbox\{Nr\; \}A$.

Funkcja $mbox\{Nr\}$ tworzy wzajemnie jednoznaczne powiązanie między wyrażeniami a liczbami naturalnymi, co pozwala na analizowanie właściwości zbioru wyrażeń w kategoriach ich numerów, zamiast bezpośrednich właściwości wyrażeń.

Przykład

Dla dziewiętnastu znaków w teorii arytmetyki można przypisać 19 kolejnych liczb naturalnych. Dla znaku $a$, przyporządkowuje się wartość $mbox\{Nr\; \}a$ zgodnie z tabelą. Każdemu wyrażeniu $A=a\_1a\_2ldots\; a\_n$ przypisuje się numer według wzoru:

$mbox\{Nr\; \}A=2^\{operatorname\{Nr\},\; a\_1\}cdot\; 3^\{operatorname\{Nr\},\; a\_2\}cdots\; p\_n^\{operatorname\{Nr\},\; a\_n\},$

gdzie $p\_n$ oznacza n-tą liczbę pierwszą. Na przykład dla wyrażenia „$x=0$” jego numer to $2^\{17\}cdot\; 5^\{16\}\; cdot\; 7^\{10\}.$

Przypisy

Bibliografia

Kategoria: Logika matematyczna