Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia to zbiór tożsamości algebraicznych, które dotyczą potęg i operacji dodawania oraz odejmowania. Zawierają one m.in.:

• potęgi sum i różnic: $(a\; pm\; b)^n,\; (a\_1\; pm\; a\_2\; pm\; dots\; pm\; a\_k)^n;$
• różnice dwóch potęg: $a^n\; –\; b^n;$
• sumy potęg dla wykładników nieparzystych: $a^n\; +\; b^n.$

Te wzory są kluczowe w matematyce średniozaawansowanej, znajdując zastosowanie w:

• obliczeniach arytmetycznych,
• przekształceniach równań kwadratowych,
• dowodzeniu nierówności,
• obliczaniu granic ciągów.

Kwadraty sum i różnic

Podstawowy wzór dla kwadratów sum i różnic dwóch liczb brzmi:

$(a\; pm\; b)^2\; =\; a^2\; pm\; 2ab\; +\; b^2.$

Przykłady obliczeń:

• Obliczanie kwadratu liczby 102:

$102^2\; =\; (100\; +\; 2)^2\; =\; 100^2\; +\; 2\; cdot\; 100\; cdot\; 2\; +\; 2^2\; =\; 10,404.$

• Obliczanie kwadratu liczby 297:

$297^2\; =\; (300\; –\; 3)^2\; =\; 300^2\; –\; 2\; cdot\; 300\; cdot\; 3\; +\; 3^2\; =\; 88,209.$

Kwadraty sum więcej niż dwóch liczb

Dla trzech liczb wzór wygląda następująco:

$(a\; +\; b\; +\; c)^2\; =\; a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\; +\; 2(ab\; +\; ac\; +\; bc).$

Można również badać różnice i sumy potęg:

• Różnica dwóch potęg:

$a^n\; –\; b^n\; =\; (a\; –\; b)(a^\{n-1\}\; +\; a^\{n-2\}b\; +\; ldots\; +\; b^\{n-1\}).$

• Suma dwóch potęg:

$a^\{2n+1\}\; +\; b^\{2n+1\}\; =\; (a\; +\; b)(a^\{2n\}\; –\; a^\{2n-1\}b\; +\; ldots\; +\; b^\{2n\}).$

Podsumowanie

Wzory skróconego mnożenia są fundamentalnym elementem matematyki, ułatwiającym wykonywanie obliczeń i przekształceń algebraicznych. Ich znajomość jest niezbędna w pracy z równaniami oraz problemami związanymi z potęgami.