Granice dolna i górna ciągu
Granica dolna (łac. *limes inferior*) oraz granica górna (łac. *limes superior*) to istotne pojęcia w analizie matematycznej, odnoszące się do granic wszystkich podciągów danego ciągu. Każdy ciąg ma zarówno granicę dolną, jak i górną, a jeśli są one równe, to ciąg ten ma granicę.
Definicja
Granica dolna i granica górna ciągu ((a_n)) definiowane są następująco:
- Granica dolna:
[
liminf_{n to infty} a_n = lim_{n to infty} left(inf_{k geqslant n} a_kright) = sup_{n geqslant 0} inf_{k geqslant n} a_k.
] - Granica górna:
[
limsup_{n to infty} a_n = lim_{n to infty} left(sup_{k geqslant n} a_kright) = inf_{n geqslant 0} sup_{k geqslant n} a_k.
]
Warto pamiętać, że oznaczenia granic dolnej i górnej są jednością, co jest widoczne w zapisie, gdzie (n to infty) jest umieszczone pod całym symbolem (liminf) lub (limsup). Alternatywnie, można używać symboli (underline{lim}) dla granicy dolnej i (overline{lim}) dla granicy górnej.
Przykłady
Przykłady ilustrujące granice dolną i górną:
Własności
Dla dowolnych ciągów ((a_n)) i ((b_n)) zachodzą następujące nierówności:
[
begin{align}
& limsup_{n to infty} a_n + limsup_{n to infty} b_n \
geqslant & limsup_{n to infty} (a_n + b_n) \
geqslant & limsup_{n to infty} a_n + liminf_{n to infty} b_n \
geqslant & liminf_{n to infty} (a_n + b_n) \
geqslant & liminf_{n to infty} a_n + liminf_{n to infty} b_n.
end{align}
]
Te nierówności są kluczowe w analizie zachowań ciągów.
