Macierz Hadamarda
Macierz Hadamarda to kwadratowa macierz, w której elementy to liczby +1 lub -1, a kolumny (i wiersze) stanowią pary ortogonalne. Oznacza to, że każda para wierszy reprezentuje wektory wzajemnie prostopadłe. Równoległościan stworzony przez wektory tej macierzy ma wymiar n i maksymalną objętość wśród równoległościanów utworzonych przez n wektorów o długości nie przekraczającej 1. Macierz Hadamarda o wymiarach n × n oznaczana jest jako Hn. Nazwa pochodzi od francuskiego matematyka Jacques’a Hadamarda.
Przykłady macierzy Hadamarda
Oto kilka przykładów macierzy Hadamarda:
- H1 = [1]
- H2 =
- H4 =
- H8 =
Macierz Hadamarda wymiaru 2n można otrzymać z macierzy Hn według wzoru:
Macierze H2, H4, H8 zostały skonstruowane w ten sposób, jednak macierz H12 nie istnieje w formie Hadamarda.
Właściwości macierzy Hadamarda
- , gdzie to macierz jednostkowa rzędu n.
- Macierz pozostaje Hadamardem po pomnożeniu dowolnego wiersza lub kolumny przez -1.
- Macierz transponowana do macierzy Hadamarda także jest macierzą Hadamarda.
- Macierz Hadamarda jest macierzą ortogonalną.
Bibliografia
- J. Hadamard, Résolution d’une question relative aux déterminants, Bull. Sci. Math. 2, s. 240–246 (1893).
- J. J. Sylvester, Thoughts on Inverse Orthogonal Matrices…, Philos. Mag. and J. Sci. 34, s. 461–475 (1867).