Odwzorowanie logistyczne

Odwzorowanie logistyczne

Odwzorowanie logistyczne (ang. logistic map) to funkcja opisująca dynamikę układów nieliniowych, która odwzorowuje przedział jednostkowy w siebie. Definiuje się je wzorem:

$f:[0,1]\; to\; [0,1],\; quad\; x\; mapsto\; kx(1-x)$

gdzie parametr k mieści się w przedziale . To klasyczny przykład układu dynamicznego, który wykazuje chaotyczne zachowanie, a jego zastosowanie znajduje się m.in. w badaniach populacji.

Iteracje funkcji

Niech x₀ będzie dowolnie wybraną liczbą z przedziału (0,1), a (x_n) ciągiem iteracji funkcji f:

$x\_n\; =\; f(x\_\{n-1\})$

Wartości początkowe x₀ prowadzą do różnych ciągów, lecz ich charakter zależy głównie od wartości parametru k.

Właściwości dla różnych wartości parametru k

• k < 1: Ciąg x_n jest malejący i zbiega do zera, które jest atraktorem.
• 1 ≤ k ≤ 2: Punkt zero staje się repelerem, a nowym atraktorem jest $x\; =\; 1\; –\; frac\{1\}\{k\}$.
• 2 < k ≤ 3: Ciągi stają się niemonotoniczne, a ich granicą jest $1\; –\; frac\{1\}\{k\}$.
• k > 3: Pojawiają się nowe punkty przyciągania, a atraktor staje się dwupunktowy, co prowadzi do bifurkacji.

Bifurkacje i chaotyczne zachowanie

Dalsze zwiększanie wartości k prowadzi do kolejnych bifurkacji, a ciągi x_n zaczynają oscylować między punktami atraktora. W miarę zbliżania się do wartości $K\; approx\; 3,569945672$, atraktor staje się „dziwny” i chaotyczny, co oznacza, że liczba punktów atraktora wzrasta do nieskończoności, a iteracje nie mają stałego wzorca.

Okna stabilności

Powyżej wartości $K$ pojawiają się okna stabilności, gdzie atraktor ma ograniczoną liczbę punktów. Ostatnie okno stabilności zaczyna się od $k\; approx\; 3,828427$, gdzie atraktor staje się trzypunktowy, a z czasem znowu przechodzi w chaos.

Podsumowanie

Dla k = 4 układ wykazuje pełne chaotyczne zachowanie, a atraktor pokrywa cały przedział (0,1). Zjawiska związane z odwzorowaniem logistycznym są obrazowane na wykresie bifurkacji, który ilustruje zmiany w zachowaniu systemu w zależności od wartości parametru k.

Linki zewnętrzne

• The Logistic Map – The mother of deterministic chaos