Grupa SO(2)

Grupa SO(2)

Grupa SO(2) to zbiór macierzy ortogonalnych 2×2 o wyznaczniku równym 1, które mają postać:

gdzie $x,\; y\; in\; mathbb\{R\}$ oraz $x^2+y^2=1$. Ostatni warunek zapewnia, że $det\; M=1$. Operacją grupową jest mnożenie macierzy.

Parametryzacja grupy SO(2)

Grupa SO(2) może być parametryzowana przez kąt $phi\; in\; [0,\; 2pi]$:

Parametr $phi$ interpretowany jest jako kąt obrotu w płaszczyźnie. Grupa ta jest zatem grupą obrotów w przestrzeni 2D oraz jest izomorficzna do grupy liczb zespolonych o module 1, reprezentowanych przez liczby postaci $e^\{iphi\}$.

Grupa Liego SO(2)

Grupa SO(2) staje się grupą Liego, gdy zdefiniujemy na niej nawias Liego za pomocą komutatora:

$left[\; A\_1,A\_2\; right]\; =\; A\_1\; A\_2\; –\; A\_2\; A\_1.$

Generatorem tej grupy jest macierz:

Każdą macierz z grupy SO(2) można uzyskać za pomocą eksponenty generatora, pomnożonego przez parametr $phi$:

$M(phi)\; =\; e^\{phi,\; G\}.$