Dzielenie przez zero

Dzielenie przez zero

Dzielenie przez zero, w którym dzielnik wynosi zero, jest bezsensowne w kontekście matematycznym i często prowadzi do błędów obliczeniowych. Przykładem takiego błędu jest sytuacja, w której dla $a\; =\; 1$ i $b\; =\; 1$ stwierdzamy, że $a\; =\; b$, co prowadzi do sprzeczności, gdyż dzielenie przez $a\; –\; b\; =\; 0$ jest niemożliwe.

Wyjaśnienie

W grupie abelowej $mathbf\; G$ z działaniem mnożenia, każde równanie postaci $a\; =\; b\; cdot\; x$ ma jedno rozwiązanie. W związku z tym, dla elementów $a,\; b\; in\; mathbf\; G$ istnieje funkcja, która przypisuje element $tfrac\{a\}\{b\}$, co oznacza działanie odwrotne do mnożenia. W kontekście grupy multiplikatywnej ciała $mathbf\; K$, dzielenie jest zdefiniowane dla elementów niezerowych tego ciała.

Rozszerzenie tego działania na wszystkie elementy ciała prowadzi do problemów:

• $0\; =\; b\; cdot\; x,\; b\; neq\; 0$ – ma jedno rozwiązanie $x\; =\; 0$.
• $a\; =\; 0\; cdot\; x,\; a\; neq\; 0$ – jest sprzeczne, ponieważ $0\; cdot\; x\; =\; 0$ dla każdego $x$.
• $0\; =\; 0\; cdot\; x$ – równanie jest nieoznaczone, ponieważ jest spełnione dla każdego elementu.

W każdym ciele tylko wyrażenie $tfrac\{a\}\{b\}$ dla $b\; neq\; 0$ ma jedno, konkretne rozwiązanie. Wyrażeniu $tfrac\{a\}\{0\}$ (gdzie $a\; neq\; 0$) nie można przypisać wartości, a dla $tfrac\{0\}\{0\}$ każda wartość byłaby możliwa, co narusza definicję działania.

Oznaczenia

Choć symbol $tfrac\{a\}\{0\}$ jest bezsensowny, używa się go w analizie matematycznej do oznaczania niewłaściwych granic. Dla $a\; neq\; 0$, symbol ten oznacza, że granica ciągu lub funkcji dąży do $pm\; infty$. Z kolei $tfrac\{0\}\{0\}$ wskazuje, że granica może być dowolna lub nie istnieć. W kontekście liczb rzeczywistych pomocne mogą być inne kryteria zbieżności, jak twierdzenie Stolza lub reguła de l’Hospitala dla funkcji.