Twierdzenie Gaussa (algebra)

Twierdzenie Gaussa

Twierdzenie Gaussa, znane również jako lemat Gaussa, to kluczowe twierdzenie w algebrze, udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa. Dotyczy ono pojęcia wielomianu pierwotnego.

Wielomian pierwotny

Wielomian pierwotny to taki wielomian, którego współczynniki pochodzą z ciała $F$, będącego ciałem ułamków pewnego pierścienia $R$. Współczynniki te muszą być całkowite względem $R$ oraz nie mogą mieć wspólnych czynników, poza jednościami.

Przykłady:

• Wielomian $3\; –\; 5x^3$ jest pierwotny.
• Wielomian $3\; –\; 9x^2$ nie jest pierwotny, gdy $R$ to pierścień liczb całkowitych.

Twierdzenia

Twierdzenie Gaussa stwierdza, że:

• Iloczyn dwóch wielomianów pierwotnych jest także wielomianem pierwotnym.

Na podstawie tego twierdzenia można również dowieść, że:

• Jeżeli $R$ jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, to $R[x]$, czyli pierścień wielomianów nad $R$, także jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.

Podsumowanie

Twierdzenie Gaussa i pojęcie wielomianu pierwotnego są fundamentalnymi zagadnieniami w algebrze, które mają istotne zastosowanie w teorii pierścieni i wielomianów.