Równania Hamiltona

Równania Hamiltona

Równania Hamiltona to jedna z formuł opisujących ruch w mechanice, obok równań Newtona i Eulera-Lagrange’a. Te równania przedstawiają zmiany współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych w czasie, korzystając z funkcji Hamiltona.

Definicja równań Hamiltona

Równania Hamiltona opisują dynamikę układu fizycznego przez układ równań różniczkowych:

$\backslash left\backslash \{\; \backslash begin\{matrix\}\; \backslash dot\{p\}\_i\; =\; -\backslash cfrac\{\backslash partial\; H\}\{\backslash partial\; q\_i\}\; \backslash \backslash \; [.5em]\; \backslash dot\{q\}\_i\; =\; \backslash cfrac\{\backslash partial\; H\}\{\backslash partial\; p\_i\}\; \backslash end\{matrix\}\; \backslash right.\; \backslash quad\; i=1,\; \backslash dots,\; s$

gdzie:

• $p\_i$ – $i$-ty pęd uogólniony,
• $q\_i$ – $i$-ta współrzędna uogólniona,
• $s$ – liczba stopni swobody układu,
• $H$ – funkcja Hamiltona układu.

Równania Hamiltona w nawiasach Poissona

Równania Hamiltona mogą być zapisywane w bardziej symetrycznej formie przy użyciu nawiasów Poissona:

$\backslash left\backslash \{\; \backslash begin\{matrix\}\; \backslash dot\{p\}\_i\; =\; \backslash \{p\_i,H\backslash \}\; \backslash \backslash \; [.5em]\; \backslash dot\{q\}\_i\; =\; \backslash \{q\_i,H\backslash \}\; \backslash end\{matrix\}\; \backslash right.\; \backslash quad\; i=1,\; \backslash dots,\; s$

Rozwiązania równań Hamiltona

Rozwiązania równań Hamiltona, przy zadanych warunkach początkowych, dostarczają informacji o czasowych zależnościach położeń i pędów uogólnionych, tworząc trajektorie w przestrzeni fazowej.

Twierdzenie

W układach znajdujących się w polu oddziaływań z potencjałem skalarnym, pęd cząstek jest proporcjonalny do ich prędkości. Jeśli równania ruchu są równaniami Hamiltona, układ jest nieściśliwy, co można zapisać jako:

$\backslash nabla\; \backslash cdot\; (\backslash dot\{\backslash boldsymbol\; q\},\; \backslash dot\{\backslash boldsymbol\; p\})\; =\; 0.$

Przykład – oscylator harmoniczny

Dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego, Hamiltonian jest opisany równaniem:

$H\; =\; \backslash frac\{p^2\}\{2\}+\backslash frac\{x^2\}\{2\}.$

Równania Hamiltona prowadzą do:

$\backslash dot\{p\}\; =\; -x,\; \backslash quad\; \backslash dot\{x\}\; =\; p.$

Rozwiązując te równania, możemy uzyskać równanie Newtona oraz parametryczne równanie okręgu w przestrzeni fazowej:

$p(t)^2\; +\; x(t)^2\; =\; x(0)^2\; +\; p(0)^2\; =\; \backslash text\{const\}.$

W przypadku oscylatora harmonicznego, oznacza to, że układ zachowuje swoją gęstość mimo ruchu, co jest cechą nieściśliwości cieczy.

Podsumowanie

Równania Hamiltona są istotnym narzędziem w mechanice analitycznej, umożliwiającym analizę dynamiki układów fizycznych oraz zrozumienie zachowań takich jak nieściśliwość w przypadku cieczy.