Operatory kreacji i anihilacji

Operatory kreacji i anihilacji

Operatory kreacji i anihilacji, wprowadzone przez Diraca, są kluczowymi narzędziami w teorii kwantowej, szczególnie w kontekście oscylatora harmonicznego. Działają na stany własne operatora Hamiltona, gdzie operator kreacji dodaje kwant energii, a operator anihilacji go odejmuje. W przypadku działania operatora anihilacji na najniższy stan, wynik to 0.

Uogólnienie tych operatorów umożliwiło opis pól bozonowych i fermionowych jako stanów kwantowych, co stanowi podstawę tzw. drugiej kwantyzacji. Przykładem może być kwantyzacja pola elektromagnetycznego, w której kwantami są fotony.

Definicja operatorów

Operatory kreacji i anihilacji definiujemy następująco:

• $\backslash hat\{a\}^\backslash dagger\; |n\; \backslash rangle\; =\; \backslash sqrt\{n+1\}\; |n+1\; \backslash rangle$ – operator kreacji,
• $\backslash hat\{a\}\; |n\; \backslash rangle\; =\; \backslash sqrt\{n\}|n-1\; \backslash rangle$ dla $n\backslash geqslant1$,
• $\backslash hat\{a\}\; |0\backslash rangle=0$ – operator anihilacji.

Przykład działania operatorów

Operator kreacji $\backslash hat\{a\}^\backslash dagger$ przekształca stan $|n\backslash rangle$ do $|n+1\backslash rangle$, dodając 1 kwant energii. Z kolei operator anihilacji $\backslash hat\{a\}$ przekształca $|n\backslash rangle$ do $|n-1\backslash rangle$, odejmując 1 kwant energii lub zerując funkcję falową w przypadku najniższego stanu $|0\backslash rangle.$

Reguły komutacji

Reguły komutacji dla operatorów są następujące:

• $[\backslash hat\{a\},\; \backslash hat\{a\}]\; =\; [\backslash hat\{a\}^\backslash dagger,\; \backslash hat\{a\}^\backslash dagger]\; =\; 0,$
• $[\backslash hat\{a\},\; \backslash hat\{a\}^\backslash dagger]\; =\; 1.$

Operatory w kwantowaniu pól

W kwantowej teorii pól cząstki są traktowane jako pola fizyczne. Drugą kwantyzację realizuje się poprzez operatory kreacji i anihilacji, które operują w przestrzeni Focka. Operator kreacji $\backslash hat\{a\}^\backslash dagger$ transformuje stany do wyższej liczby cząstek, a operator anihilacji $\backslash hat\{a\}$ do niższej, lub zeruje stan próżni.

Reguły dla fermionów i bozonów

Istnieją różne reguły komutacyjne dla fermionów i bozonów:

• Fermiony: $\backslash \{\backslash hat\{a\}\_i,\; \backslash hat\{a\}\_j\backslash \}\; =\backslash \{\backslash hat\{a\}^\backslash dagger\_i,\; \backslash hat\{a\}^\backslash dagger\_j\backslash \}=\; 0,\; \backslash \{\backslash hat\{a\}\_i,\; \backslash hat\{a\}\_j^\backslash dagger\backslash \}\; =\; \backslash delta\_\{ij\}.$
• Bozony: $[\backslash hat\{a\}\_i,\; \backslash hat\{a\}\_j]=\; [\backslash hat\{a\}^\backslash dagger\_i,\; \backslash hat\{a\}^\backslash dagger\_j]=0,\; [\backslash hat\{a\}\_i,\; \backslash hat\{a\}\_j^\backslash dagger]=\; \backslash delta\_\{ij\}.$

Operator liczby cząstek

Operator całkowitej liczby cząstek wyraża się jako $N\; =\; \backslash sum\_i\; n\_i\; =\; \backslash sum\_i\; a^\backslash dagger\_i\; a\_i.$

Dzięki operatorom kreacji i anihilacji oraz regułom komutacyjnym, możliwe jest budowanie stanów wielocząstkowych w teorii kwantowej, co jest kluczowe dla zrozumienia zachowań cząstek w fizyce kwantowej.