Klasa (matematyka)

Klasa w teorii zbiorów

Klasa to zbiór obiektów, które dzielą wspólne cechy. Jest to uogólnienie pojęcia zbioru, które w matematyce bywa niewystarczające do opisu niektórych obiektów. Klasy są często wykorzystywane w kontekście teorii mnogości, gdzie ich definicja może przybierać różne formy.

Przykłady klas

Oto kilka przykładów klas:

• Klasa wszystkich zbiorów – prowadzi do paradoksu zbioru wszystkich zbiorów, dlatego tworzy klasę właściwą.
• Klasa wszystkich liczb porządkowych – również prowadzi do paradoksu, przez co tworzy klasę właściwą.
• Klasa liczb nadrzeczywistych – jest nadklasą liczb porządkowych.
• Klasy dużych kategorii, takie jak kategoria wszystkich przestrzeni topologicznych (Top).
• Uniwersum konstruowalne.

Klasy jako formuły

Klasy mogą być definiowane za pomocą formuł w teorii mnogości. Dla formuły $\backslash varphi(x,y\_1,y\_2,\backslash dots,y\_n)$ wprowadza się klasę $\backslash mathbf\; C=\backslash \{x:\backslash varphi(x,p\_1,\backslash dots,p\_n)\backslash \}$. Zależność między klasami można opisać przez ich elementy.

Teoria klas Morse’a-Kelleya

Teoria klas Morse’a-Kelleya to formalizacja, w której obiekty nazywane są klasami. Klasy, które są elementami innych klas, określane są jako zbiory, a te, które nie są zbiorami, to klasy właściwe. W ramach tej teorii funkcjonują różne aksjomaty, które mogą mieć istotne różnice.

• Aksjomat ekstensjonalności.
• Aksjomat istnienia klas spełniających określone formuły.
• Aksjomat pary.
• Klasa właściwa definiowana przez bijekcję.
• Aksjomat zbioru potęgowego oraz sumy.
• Aksjomat nieskończoności i regularności.

Teoria klas NBG

Aksjomatyka NBG, opracowana przez von Neumanna i Bernaysa, wprowadza pojęcia klas i zbiorów. W tej teorii relacja przynależności dotyczy tylko zbiorów. Również w tej teorii istnieją różne aksjomaty, które mogą się różnić między sobą.

• Aksjomat ekstensjonalności dla klas i zbiorów.
• Aksjomat istnienia klas spełniających określone formuły.
• Aksjomat pary.
• Aksjomat zbioru potęgowego oraz sumy.
• Aksjomat nieskończoności i regularności.

Teoria NBG jest rozszerzeniem teorii ZFC, umożliwiającym szersze zastosowanie w matematyce.

Podsumowanie

Klasy i zbiory są kluczowymi pojęciami w teorii mnogości, a ich formalizacja w różnych teoriach, takich jak Morse’a-Kelleya czy NBG, pozwala na skuteczniejsze badanie obiektów matematycznych oraz unikanie paradoksów związanych z klasyfikowaniem zbiorów.