Macierz podstawowa

Macierz Podstawowa

Macierz podstawowa, oznaczana jako $\backslash varphi(t)\; =\; e^\{At\}$, posiada kluczowe właściwości, które są fundamentalne w rozwiązaniu liniowych układów różniczkowych:

• $\backslash frac\{d\backslash varphi(t)\}\{dt\}\; =\; A\backslash varphi(t),$
• $\backslash varphi(0)\; =\; I,$ gdzie $I$ to macierz jednostkowa.

Metody Wyznaczania Macierzy Podstawowej

Istnieje kilka metod służących do wyznaczania macierzy podstawowej:

• Metoda wzoru Sylvestra
• Metoda odwrotnego przekształcenia Laplace’a
• Metoda diagonalizacji macierzy (wektorów własnych)

Metoda Odwrotnego Przekształcenia Laplace’a

Wyznaczenie macierzy podstawowej $\backslash varphi(t)\; =\; e^\{At\}$ przy użyciu metody odwrotnego przekształcenia Laplace’a polega na rozwiązaniu równania:

$e^\{At\}\; =\; \backslash mathcal\{L\}^\{-1\}([sI\; –\; A]^\{-1\}),$

gdzie:

• $\backslash mathcal\{L\}^\{-1\}$ – odwrotna transformata Laplace’a,
• $I$ – macierz jednostkowa,
• $A$ – macierz z równania różniczkowego o postaci $\backslash frac\{dx(t)\}\{dt\}\; =\; Ax(t).$