Pierwiastek kwadratowy z 2

Pierwiastek kwadratowy z liczby 2

Pierwiastek kwadratowy z liczby 2, oznaczany jako $\backslash sqrt\{2\}$, to dodatnia liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi 2. Jest to liczba niewymierna, co oznacza, że nie może być wyrażona jako ułamek zwykły. Jako liczba algebraiczna stopnia 2 jest ona również długością przekątnej kwadratu o boku 1, co można zobaczyć w kontekście twierdzenia Pitagorasa.

Historia

Pierwsze znane przybliżenia $\backslash sqrt\{2\}$ pochodzą z Babilonu oraz Indii. Babilońska tabliczka YBC 7289 z ok. 1800-1600 p.n.e. podaje przybliżenie na poziomie 1,41421. Starodawne teksty indyjskie, Sulba Sutras, również dostarczają przybliżenia tej liczby.

Niewymierność

$\backslash sqrt\{2\}$ jest niewymierna, co zostało udowodnione na dwa sposoby: dowodem geometrycznym i arytmetycznym. W dowodzie geometrycznym wykorzystuje się twierdzenie Pitagorasa, a dowód arytmetyczny opiera się na sprzeczności wynikającej z założenia, że liczba $\backslash sqrt\{2\}$ mogłaby być wymierna.

Własności

• Połowa $\backslash sqrt\{2\}\; \backslash approx\; 0,7071$, istotna w geometrii.
• Relacja: $\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\; –\; 1\}\; =\; \backslash sqrt\{2\}\; +\; 1.$
• Tożsamość: $\backslash sqrt\{2+\backslash sqrt\{2+\backslash sqrt\{2+\backslash ldots\}\}\}\; =\; 2.$
• Może zostać wyrażony za pomocą jednostek urojonych.
• Nieskończone potęgowanie: $\backslash sqrt\{2\}^\{\backslash sqrt\{2\}^\{\backslash sqrt\{2^\{\backslash cdots\}\}\}\}\; =\; 2.$

Przybliżenia

Najbardziej znaną metodą przybliżania $\backslash sqrt\{2\}$ jest metoda babilońska. Proces polega na iteracyjnym obliczaniu wartości przybliżonej, co pozwala na szybkie uzyskanie dokładnych wyników. W 1997 roku obliczono wartość pierwiastka z 2 z dokładnością do 137 miliardów cyfr.

Zastosowania

• Format papieru: Rozmiary papieru A, B i C są projektowane w taki sposób, aby po podzieleniu na pół, uzyskać arkusze o tych samych proporcjach, co związane jest z $\backslash sqrt\{2\}$.
• Muzyka: W równomiernie temperowanym systemie muzycznym stosunek częstotliwości między nutami w oktawie związany jest z wartością 2, a interwały takie jak kwarta zwiększona mają stosunek $\backslash sqrt\{2\}$.
• Elektryczność: Wartość skuteczna napięcia przemiennego wynosząca 230 V przelicza się na wartość maksymalną mnożąc przez $\backslash sqrt\{2\}$, co daje około 325 V.