Wypukłość funkcji

Wypukłość i Wklęsłość Funkcji

Wypukłość i wklęsłość funkcji to własności określające położenie wykresu funkcji względem stycznej w danym punkcie. Funkcja jest wypukła, gdy jej wykres znajduje się nad styczną, natomiast wklęsła, gdy leży pod styczną.

Definicja Wypukłości

Funkcję rzeczywistą $f$ nazywamy wypukłą na zbiorze wypukłym $C$, jeśli:

$\backslash forall\_\{x\_1,\; x\_2\; \backslash in\; C\}\backslash \; \backslash forall\_\{\backslash alpha,\backslash beta\; \backslash in\; [0,\; 1],\backslash ,\backslash alpha+\backslash beta=1\}\backslash \; f(\backslash alpha\; x\_1+\backslash beta\; x\_2)\; \backslash leqslant\; \backslash alpha\; f(x\_1)+\backslash beta\; f(x\_2.$

W kontekście przedziału geometryczna interpretacja tej nierówności oznacza, że łuk wykresu funkcji łączący punkty $P$ i $Q$ leży poniżej cięciwy $PQ$.

Definicja Wklęsłości

Funkcję $f$ nazywamy wklęsłą, jeśli w powyższej definicji nierówność jest odwrócona, co oznacza, że łuk wykresu leży powyżej cięciwy. Alternatywnie, funkcja $-f$ jest wypukła, jeśli $f$ jest wklęsła.

Terminologia

• Niekiedy funkcje wypukłe określa się jako wklęsłe w sensie powyższej definicji.
• Funkcje ściśle wypukłe i ściśle wklęsłe definiuje się, zastępując nierówności w definicjach przez nierówności ostre.

Własności Funkcji Wypukłych i Wklęsłych

Funkcja wypukła (lub wklęsła) na zbiorze otwartym jest ciągła. Dodatkowo, funkcja wypukła jest górnym kressem rodziny funkcji liniowych, które są mniejsze lub równe od niej.

Kryterium Wypukłości

Dla funkcji ciągłej $f$ na przedziale $P$, jeśli:

$\backslash forall\_\{x,\; y\; \backslash in\; P\}\backslash ;\; f\backslash left(\backslash frac\; x2\; +\; \backslash frac\; y2\backslash right)\; \backslash leqslant\; \backslash frac\; \{f(x)\; +\; f(y)\}2$

to funkcja jest wypukła na tym przedziale. Zasada ta działa również w odwrotną stronę.

Funkcje Różniczkowalne

Funkcja $f(x)$ jest wypukła w przedziale $(a,\; b)$, gdy dla każdego $x\_0$ w tym przedziale:

$f(x)\; –\; f(x\_0)\; \backslash geqslant\; f\text{'}(x\_0)(x-x\_0).$

Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna, wystarczy, że:

$f”(x)\; \backslash geqslant\; 0$

dla $x\; \backslash in\; (a,b)$.

Punkty Przegięcia

Punkt $x\_0$ jest punktem przegięcia, jeśli z jednej strony funkcja jest wypukła, a z drugiej wklęsła. Warunkiem koniecznym jest:

$f”(x\_0)\; =\; 0$

Jednak musi nastąpić zmiana znaku drugiej pochodnej w tym punkcie.

Przykład: Funkcja $f(x)\; =\; x^4$ nie ma punktów przegięcia, gdyż druga pochodna nie zmienia znaku, pozostając nieujemna w całej dziedzinie.