Przestrzeń (matematyka)

Definicja Przestrzeni w Matematyce

Przestrzeń to zbiór nadrzędny, który obejmuje inne zbiory, szczególnie w kontekście analizy matematycznej. Termin ten może również odnosić się do struktury matematycznej, co pozwala na uproszczenie wypowiedzi.

Rodzaje Przestrzeni

Określenia dodatkowe, takie jak przestrzeń ilorazowa, wskazują na typ elementów zbioru oraz relacje i działania, które są w nim zdefiniowane. Przykłady przestrzeni to:

• Przestrzeń Banacha
• Przestrzeń Hilberta

Te przestrzenie mogą być zbudowane na tym samym zbiorze, różniąc się jedynie zdefiniowanymi działaniami.

Hierarchia Przestrzeni Matematycznych

W matematyce przestrzenie mogą tworzyć hierarchię, w której dany typ przestrzeni dziedziczy cechy przestrzeni, z której się wywodzi. Na przykład:

• Wszystkie przestrzenie unitarne są unormowanymi przestrzeniami wektorowymi.
• Nie każda unormowana przestrzeń wektorowa jest przestrzenią unitarną.

Iloczyn skalarny $\backslash langle\; x,\; x\backslash rangle$ indukuje normę $\backslash left\backslash |\; x\; \backslash right\backslash |$ zgodnie z wzorem: $\backslash left\backslash |\; x\; \backslash right\backslash |\; =\; \backslash sqrt\{\backslash langle\; x,\; x\backslash rangle\}.$

Znaczenie w Geometrii

W węższym sensie, przestrzeń jest jednym z podstawowych pojęć w geometrii absolutnej i euklidesowej, obok punktu, prostej oraz płaszczyzny.