Wzór de Moivre’a

Wzór de Moivre’a

Wzór de Moivre’a to kluczowy wzór dotyczący potęg liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej. Zapisuje się go jako:

$z\; =\; |z|(\backslash cos\backslash varphi\; +\; i\backslash sin\backslash varphi).$

Dla całkowitej liczby $n$ wzór na n-tą potęgę liczby z ma postać:

$z^n\; =\; |z|^n(\backslash cos\; n\backslash varphi\; +\; i\backslash sin\; n\backslash varphi).$

W przypadku, gdy $n$ jest odwrotnością liczby naturalnej, obliczamy pierwiastki n-tego stopnia z liczby zespolonej:

$z^\backslash frac\{1\}\{n\}\_\{(k)\}\; =\; |z|^\backslash tfrac\{1\}\{n\}\; \backslash Big[\backslash cos\; \backslash Big(\backslash tfrac\{\backslash varphi+2k\backslash pi\}\{n\}\backslash Big)\; +\; i\backslash sin\; \backslash Big(\backslash tfrac\{\backslash varphi+2k\backslash pi\}\{n\}\backslash Big)\; \backslash Big],\; \backslash quad\; k\; \backslash in\; \backslash \{0,\backslash dots,\; n-1\backslash \}.$

Wzór ten został opracowany przez Abrahama de Moivre’a w XVIII wieku.

Postacie wykładnicze wzorów de Moivre’a

W zapisie wykładniczym wzory te przyjmują następujące formy:

• $z\; =\; |z|\backslash cdot\; e^\{i\backslash phi\}$ – postać wykładnicza liczby zespolonej,
• $z^n\; =\; |z|^n\backslash cdot\; e^\{in\; \backslash phi\}$ – potęga n-ta liczby zespolonej,
• $z^\backslash frac\{1\}\{n\}\_\{(k)\}\; =\; \backslash sqrt[n]\{|z|\}\backslash cdot\; e^\{i(\backslash phi\; +\; 2\backslash pi\; k)/n\},\; \backslash quad\; k\; \backslash in\; \backslash \{0,1,\; 2,\; \backslash dots,\; n-1\backslash \}$ – pierwiastki n-te liczby zespolonej.

Dowód

Wzór de Moivre’a można udowodnić przez indukcję matematyczną. Dla $n=1$ wzór jest oczywisty. Zakładając, że wzór jest prawdziwy dla $n=k$, udowadniamy go dla $n=k+1$:

Na podstawie indukcji matematycznej wzór ten zachodzi dla każdego naturalnego $n$.

Zespolony pierwiastek n-tego stopnia z 1

Liczba 1 ma w dziedzinie liczb zespolonych $n$ pierwiastków stopnia $n$-tego, zapisanych jako:

$1^\backslash frac\{1\}\{n\}\_\{(k)\}\; =\; \backslash sqrt[n]\{1\}\_\{(k)\}\; =\; \backslash cos\backslash frac\{2k\backslash pi\}\{n\}\; +\; i\; \backslash sin\backslash frac\{2k\backslash pi\}\{n\},\; \backslash quad\; k\; \backslash in\; \backslash \{0,\backslash dots,\; n-1\backslash \}.$

Interpretacja pierwiastków zespolonych

Pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej $z$ można interpretować jako zbiór $n$ wektorów rozłożonych równomiernie na okręgu o promieniu $|z|^\{1/n\}$. Przykładowo, pierwiastki 5-tego stopnia z liczby $z\; =\; 1$ układają się na okręgu o promieniu 1, z kątem rozwarcia $72^\backslash circ$.