Pierwiastnik

Pierwiastnik względem ustalonych liczb

Pierwiastnik to wyrażenie algebraiczne zbudowane z ustalonych liczb przy użyciu podstawowych działań arytmetycznych oraz pierwiastków stopni naturalnych. Przykład takiego wyrażenia to $\backslash sqrt[5]\{x+\backslash sqrt\{\backslash pi\; y+x\}\}.$

Definicja formalna

Definicja dla podciał ciała liczb zespolonych

Liczbę zespoloną $z$ można przedstawić za pomocą pierwiastników, jeśli istnieją liczby zespolone $z\_1,\backslash dots,z\_n$ oraz liczby naturalne $k\_1,\backslash dots,k\_n$, spełniające następujące warunki:

• $K\_0=\backslash mathbb\; Q$ (ciało liczb wymiernych),
• $K\_i=K\_\{i-1\}(z\_i)$ dla $i=1,\backslash dots,\; n$,
• $z\_i^\{k\_i\}\backslash in\; K\_\{i-1\}$ dla wszystkich $i=1,\backslash dots,n$ oraz $z\backslash in\; K\_n.$

Stopień $k=\backslash max\backslash \{k\_1,\backslash dots,k\_n\backslash \}$ nazywa się stopniem przedstawienia.

Definicja ogólniejsza

Niech $K$ będzie ciałem o charakterystyce 0. Element $a$ jest pierwiastnikowy względem ciała $K$, jeśli istnieje ciąg ciał $K\; =\; K\_0\; \backslash subset\; K\_1\; \backslash subset\; \backslash dots\; \backslash subset\; K\_r$ oraz $a\; \backslash in\; K\_r$, spełniający warunki:

• dla $i\; =\; 1,2,\backslash dots,r$, ciało $K\_i$ jest ciałem rozkładu wielomianu postaci $x^\{n\_i\}\; –\; a\_i\; \backslash in\; K\_\{i\; –\; 1\}[x].$

W przypadku ciał o charakterystyce $p\; >\; 0$, warunki te są odpowiednio modyfikowane.

Własności pierwiastników

• Zbiór $r(K)$ jest ciałem.
• Każdy element pierwiastnikowy względem $r(K)$ należy do $r(K)$.
• Równanie $z^3+pz+q=0$ nie ma pierwiastków wymiernych, co implikuje, że jego pierwiastki nie wyrażają się w pierwiastnikach kwadratowych.
• Równanie $x^p\; –\; 2qx\; –\; q\; =\; 0$ nie jest rozwiązywalne w pierwiastnikach względem $\backslash mathbb\; Q$.

Znaczenie i zastosowania

Pojęcie pierwiastnika jest kluczowe w badaniach nad rozwiązalnością równań algebraicznych. Badania Abela i Galois wykazały, że pierwiastki równań stopni piątego i wyższych nie zawsze można wyrazić w pierwiastnikach. W geometrii pierwiastniki kwadratowe są istotne przy konstruowalności punktów za pomocą cyrkla i linijki.

Podsumowanie

Pierwiastniki mają fundamentale znaczenie w matematyce, zarówno w teorii liczb, jak i geometrii, wpływając na zrozumienie struktury równań algebraicznych oraz ich rozwiązań.

Bibliografia

• Prace dotyczące pierwiastkowania i geometrii.